Pravilni polieder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Pravilni polieder je polieder katerega stranske ploskve so skladni pravilni mnogokotniki, ki se nahajajo okoli vsakega oglišča.

Platonska telesa[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Platonsko telo.

Znanih je pet konveksnih

Tetrahedron.png Hexahedron.png Octahedron.png Dodecahedron.png Icosahedron.png
tetraeder {3, 3} kocka {4, 3} oktaeder {3, 4} dodekaeder {5, 3} ikozaeder {3, 5}

Kepler-Poinsotovi poliedri[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Kepler-Poinsotov polieder.
Small stellated dodecahedron.png Great dodecahedron.png Great stellated dodecahedron.png Great icosahedron.png
mali zvezdni dodekaeder
{5/2, 5}
veliki dodekaeder
{5, 5/2}
veliki zvezdni dodekaeder
{5/2, 3}
veliki ikozaeder
{3, 5/2}

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Lastnosti ekvivalentnosti[uredi | uredi kodo]

Lastnost, da imajo podobno razporeditev stranskih ploskev okoli oglišča, lahko zamenjamo z eno izmed naslednjih trditev:

Koncentrične sfere[uredi | uredi kodo]

Pravilni poliedri imajo tri sfere, ki si delijo središča:

Simetrija[uredi | uredi kodo]

Pravilni poliedri so med poliedri najbolj simetrični. Nahajajo se v treh simetrijskih grupah, ki imajo po njih tudi imena:

  • tetraederska
  • oktaederska (ali kubična)
  • ikozaederska (ali dodekaederska)

Eulerjeva karakteristika[uredi | uredi kodo]

Pet platonskih teles ima Eulerjevo karakteristiko enako 2, nekatere pravilne zvezde pa imajo drugačno vrednost.

Notranje točke[uredi | uredi kodo]

Vsota razdalj od poljubne točke v notranjosti pravilnega poliedra do stranic je neodvisen od položaja točke (to je razširitev Vivianovega izreka. Obratno ne velja celo za tetraedre [1]

Dualnost pravilnih poliedrov[uredi | uredi kodo]

Pravilni poliedri nastopajo v naravnih dvojicah. Vsak polieder izmed dvojice je dual dualno telo drugega.

Schläflijev simbol duala je enak prvotnemu napisanem v obratnem redu. Zgled: dualno telo za {5,3} je {3,5}

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Pravilni poševni poliedri[uredi | uredi kodo]

Coxeter in Petrie sta v začetku dovoljevala "sedlasta" oglišča z izmenjujočimi se grebeni in dolinami. To je omogočalo neskončne poševne ploskve. Te sta imenovala pravilni poševni poliedri [2] Za te oblike je Coxeter ponudil spremenjene Schläflijeve simbole v obliki {l,m|n}, kjer so uporabljene slike oglišč {l,m}. Pri tem so m pravilni l-kotniki okoli oglišča. N pa določa n-kotne luknje. Te slike oglišč so pravilni poševni mnogokotniki.

Neskončni pravilni poševni poliedri trirazsežnem prostoru (delno narisano)
Six-square skew polyhedron.png
{4,6|4}
Four-hexagon skew polyhedron.png
{6,4|4}
Six-hexagon skew polyhedron.png
{6,6|3}

Končni pravilni poševni poliedri obstojajo v štirirazsežnem prostoru. Ti končni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru se lahko obravnavajo kot podmnožica stranskih ploskev uniformnega polihorona. Dve dualni rašitvi sta povezani s 5-celico, dve dualni rešitvi sta povezani s 24-celico. Neskončna množica sebi dualnih duoprizem generira pravilne poševne poliedre z {4,4|n}. V neskončnosti limiti se približujejo duocilindru in izgleda kot torus v stereografski projekciji v trirazsežni prostor.

Končni pravilni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru
Ortogonalne projekcije na Coxeterjevo ravnino Stereografska projekcija
A4 F4
4-simplex t03.svg 4-simplex t12.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t12 F4.svg Clifford-torus.gif
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3} {4, 4 | n}

Pravilni poliedri v neevklidskih prostorih[uredi | uredi kodo]

Proučevanja neevklidskih hiperboličnih, eliptičnih in kompleksnih prostorov je vodilo k odkritju novih poliedrov kot so kompleksni poliedri. Ta telesa lahko zavzamejo svojo pravo obliko samo v teh prostorih.

Abstraktni pravilni poliedri[uredi | uredi kodo]

V današnjem času se poliedri se razumejo kot tri razsežne splošne oblike politopov v poljubnem številu razsežnosti.


Polieder DU36 medial rhombic triacontahedron.png
srednji rombski triakontaeder
Dodecadodecahedron.png
dodekadodekaeder
DU41 medial triambic icosahedron.png
srednji triambskiikozaeder
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
ditrigonalni dodekadodekaeder
Excavated dodecahedron.png
izkopan dodekaeder
Slika oglišč {5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
{5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/3)3
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
Medial triambic icosahedron face.png
Stranske ploskve 30 rombov
Rhombus definition2.svg
12 petkotnikov
12 pentagramov
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20 šestkotnikov
Medial triambic icosahedron face.png
12 petkotnikov
12 pentagramov
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20 šestkotnikov
Star hexagon face.png
Tlakovanje Uniform tiling 45-t0.png
{4, 5}
Uniform tiling 552-t1.png
{5, 4}
Uniform tiling 65-t0.png
{6, 5}
Uniform tiling 56-t0.png
{5, 6}
Uniform tiling 66-t0.png
{6, 6}

Tlakovanja realne projektivne ravnine[uredi | uredi kodo]

Druga skupina pravilnih abstraktnih poliedrov vključuje tlakovanja realne projektivne ravnine. To vključuje polkocko, poloktaeder, poldodekaeder]] in polikozaeder. To so projektivni poliedri in so projektivni dvojniki Platonskih teles. Tetraeder nima projektivnega dvojnika, ker nima vzporednih stranskih ploskev, ki bi jih lahko definirali kot eno. To se namreč lahko naredi za štiri Platonska telesa.

Hemicube2.PNG
polkocka
{4,3}
Hemioctahedron.png
poloktaeder
{3,4}
Hemi-Dodecahedron2.PNG
poldodekaeder
{3,5}
Hemi-icosahedron.png
polikozaeder
{5,3}

Sferni poliedri[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Sferni polieder.

Običajnih devet pravilnih poliedrov lahko prikažemo kot sferno tlakovanje oziroma kot tlakovanje sfere.

Uniform tiling 332-t0-1-.png
tetraeder
{3,3}
Uniform tiling 432-t0.png
kocka
{4,3}
Uniform tiling 432-t2.png
oktaeder
{3,4}
Uniform tiling 532-t0.png
dodekaeder
{5,3}
Uniform tiling 532-t2.png
ikozaeder
{3,5}
Small stellated dodecahedron tiling.png
mali stelirani dodekaeder
{5/2,5}
Great dodecahedron tiling.png
veliki dodekaeder
{5,5/2}
Great stellated dodecahedron tiling.png
veliki stelirani dodekaeder
{5/2,3}
Great icosahedron tiling.png
veliki ikozaeder
{3,5/2}

Pravilni poliedri, ki lahko obstojajo le kot sferni poliedri[uredi | uredi kodo]

Glej tudi hozoeder in dieder

Pri pravilnih poliedrih, ki imajo Schläflijev simbol {m,n} se lahko dobi število stranskih ploskev mnogokotnika s pomočjo obrazca:

N_2=\frac{4n}{2m+2n-mn}.

Platonska telesa nudijo edino rešitev s celimi števili za m ≥ 3 in n ≥ 3. Omejitev m ≥ 3 zahteva, da morajo stranske ploskve mnogokotnikov imeti najmanj tri stranice.

Če obravnavamo poliedre kot sferno tlakovanje ta omejitev ni nujno tako stroga. To pa je zaradi tega, ker lahko dvokotnik prikažemo kot sferne lune, ki imajo neničelno površino. Če dovolimo m = 2,omogočimo nastanek novega razreda pravilnih poliedrov, ki so hozoedri.

Dieder v trirazsežnem evklidskem prostoru se lahko obravnava kot izrojena prizma. Sestavljata jo dva (ravninska) n-kotna mnogokotnika. Kot sferno tlakovanje lahko dieder obstoja kot neizrojena oblika s stranskimi ploskvami, ki imajo n stranic in pri tem pokrivajo sfero.

Hengonal dihedron.png
enostrani dieder
{1,2}
Digonal dihedron.png
dvostrani dieder
{2,2}
Trigonal dihedron.png
tristrani dieder
{3,2}
... Hexagonal dihedron.png
šeststrani dieder
{6,2}
... {n,2}
Henagonal hosohedron.png
enostrani hozoheder
{2,1}
Digonal dihedron.png
dvostrani hozoeder
{2,2}
Trigonal hosohedron.png
tristrani hozorder
{2,3}
... Hexagonal hosohedron.png
šeststrani hozoeder
{2,6}
... {2,n}

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
  2. ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Poglavje 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]