Slika oglišč

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Slika oglišč tristrane prizme je enakokraki trikotnik.
Slika oglišč za veliki ikozaeder je pravilni petkotnik ali zvezdni mnogokotnik {5/2}.

Slika oglišč je v geometriji slika, ki jo dobimo takrat, ko v poliedru ali politopu odrežemo vogale.

Definicije[uredi | uredi kodo]

Poglejmo oglišče poliedra in označimo točko kjerkoli vzdolž vsakega roba. Potegnimo črto skozi povezane stranske ploskve tako, da povežemo sosednje točke. Te črte opisujejo celotno področje, to pa je mnogokotnik okoli oglišča. Ta mnogokotnik imenujemo slika oglišča.

Ta definicija je lahko precej drugačna, kar je odvisno od okoliščin v katerih dajemo definicijo. Tako lahko naredimo na naslednje načine

  • z uporabo ploske rezine
  • kot sferni mnogokotnik
  • kot množico povezanih oglišč
  • s pomočjo abstraktne definicije

Uporaba prvega načina: naredimo rezino skozi vogal poliedra in odrežemo vse robove, ki so povezani s tem ogliščem. Odrezana ploskev je slika oglišča. Ta način je najbolj uporabljan in tudi najbolj razumljiv. Različni avtorji naredijo rezino samo na različnih mestih

Splošne lastnosti[uredi | uredi kodo]

Slika oglišč za n-politop je (n -1) politop. Kot primer je slika oglišč za polieder slika mnogokotnika. Za polihoron pa je polieder.

Če obravnavamo samo povezljivost teh sosednjih oglišč se lahko slika oglišč konstruira za vsako oglišče politopa:

  • Vsako oglišče na sliki oglišč sovpada z oglišči prvotnega politopa.
  • Vsak rob slike oglišč se nahaja znotraj ali zunaj prvotnega politopa tako, da izmenoma povezuje po dve oglišči prvotne stranske ploskve
  • Vsaka stranska ploskev slike oglišč se nahaja znotraj ali zunaj celice prvotnega n-politopa (velja za n>3)
  • tako se lahko nadaljuje za elemente višjega reda in tudi za višji red politopov.

Slika oglišč je zelo uporaben pripomoček za uniformne politope, ker samo ena slika opiše celotni politop.

Slika oglišč: neuniformne kvadratne piramide Truncated cubic honeycomb verf.png
Schlegelov diagram
VF-truncated cubic.png
perspektiva
kreirane kot kvadratna osnova iz oktaedra Octahedron vertfig.png
(3.3.3.3)
in štiri stranice enakostraničnega trikotnika iz prisekanih kock Truncated cube vertfig.png
(3.8.8)

Slika robov[uredi | uredi kodo]

Podobna sliki oglišč je slika robov, ki je enaka sliki oglišč slike oglišč [1]. Slika robov se uporablja za prikazovanje odnosa med elementi v pravilnem in uniformnem politopu.

Slika robov je politop (n -2), ki prikazuje razporeditev facet okoli danega roba.

Pravilni politopi in satovja imajo samo eno sliko robov, ki pa je pravilna. Za pravilne politope {p,q,r,s.....,z} je slika robov {r,s,.....,z}.

V štirih razsežnostih je slika robov za 4-politope ali 3-satovje mnogokotnik, ki predstavlja razvrstitev množice facet okoli roba. Zgled: slika robov za pravilno kubično satovje {4, 3, 4} je kvadrat in za pravilni polihoron {p,q,r} je mnogokotnik {r}.

Pravilni politopi[uredi | uredi kodo]

Kadar je politop pravilen ga lahko predstavimo s Schläflijevim simbolom. Iz njega in iz celic ga lahko dobimo na trivialen način

V splošnem v pravilnem politopu s Schläflijevim simbolom {a, b, c,...,y, z} ima celice {a, b, c,...,y} in sliko oglišč {b, c,...,y, z}.

  1. pravilni polieder {p, q} je slika oglišč {q}, kar pa je q-kotnik.
    • zgled: slika oglišč kocke {4, 3} je trikotnik {3}
  2. pravilni polihoron ali prostorska teselacija {p, q, r} ima sliko oglišč {q, r}
    • zgled: slika oglišč hiperkocke {4, 3, 3} je slika oglišč pravilni tetraeder {3, 3}.
    • slika oglišč za kubično satovje je tudi pravilno in ga lahko prikažemo s Schläflijevim simbolom z indeksi v obratnem vrstnem redu. Lahko se pokaže, da je dual slike oglišč celica dualnega politopa. Za pravilne poliedre je to posebna oblika Dorman Lukove konstrukcije.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]