Kepler-Poinsotov polieder

Kepler-Poinsotov polieder (tudi Kepler-Poinsotovo telo) je v geometriji katerikoli od štirih pravilnih steliranih poliedrov. Dobimo jih z steliranjem pravilnih konveksnih dodekaedrov in ikozaedrov. Od teh se razlikujejo v tem, da imajo pentagramske stranske ploskve ali slike oglišč.

Štirje Kepler-Poinsotovi poliedri so prikazani na zgornji sliki. Vsakega izmed njih lahko identificiramo s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q} in njegovim imenom.

Značilnosti

Eulerjeva karakteristika

Kepler-Poinsotovi poliedri prekrivajo sfero več kot enkrat tako, da so središča stranskih ploskev delujejo kot navite točke v sliki, ki imajo petkotne stranske ploskve in oglišča v drugih. Zaradi tega niso nujno topološko enakovredne sferi kot so platonska telesa. Odnos

$\chi=V-E+F=2\$

ne velja vedno ne velja. Po Schläfliju velja, da morajo imeti vsi poliedri χ = 2. On je tudi zavračal idejo o tem, da sta mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder prava poliedra, kar pa nikoli ni bilo splošno priznamo.

Popravljeno obliko Eulerjevega izraza z uporabo gostote (D) pripadajočih slik oglišč (d_v) in stranskih ploskev (d_f), je podal britanski matematik Arthur Cayley (1821 – 1895). Izraz velja za konveksne poliedre (kjer so faktorji popravkov vsi enaki 1) in za Kepler-Poinsotove poliedre

$d_v V - E + d_f F = 2D$.

Dualnost

Kepler-Poinsotovi poliedri nastopajo v dualnih parih.

• mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder.
• veliki stelirani dodekaeder in veliki ikozaeder.

Pregled

ime	slika	sferno tlakovanje	diagram stelacije	Schläflijev {p,q} in Coxeter-Dynkinov diagram	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča {q} slika oglišč	χ	gostota	simetrija	dualni
mali stelirani dodekaeder				{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	Ih	veliki dodekaeder
veliki dodekaeder				{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	Ih	mali stelirani dodekaeder
veliki stelirani dodekaeder				{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Ih	veliki ikozaeder
veliki ikozaeder				{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Ih	veliki stelirani dodekaeder

Odnosi med pravilnimi poliedri

Naslednji imajo iste ureditve oglišča:	Naslednji imajo isto razvrstitev oglišč in razvrstitev robov:
ikozaeder, mali stelirani dodekaeder, veliki ikozaeder in veliki dodekaeder.	mali stelirani dodekaeder in veliki ikozaeder.
dodekeder in veliki stelirani dodekaeder.	ikozaeder in veliki dodekaeder.

Glej tudi

• pravilni politop
• pravilni polieder
• uniformni polieder
• uniformni stelirani polieder
• poliederska sestava
• Schläfli-Hessov polihoron

Zunanje povezave

• Kepler-Poinsotova telesa (v angleščini)
• Modeli Kepler-Poinsotovih teles (v angleščini)
• Uniformni poliedri (v angleščini)
• Kepler-Poinsotovi poliedri (v angleščini)
• Modeli Kepler-Poinsotovih poliedrov (v angleščini)
• Stella software za kreiranje slik (v angleščini)