Abstraktni politop

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Kot abstraktni politopi so vsi prikazani štirikotniki enaki.

Abstraktni politop je v matematiki struktura, ki se obravnava kot kombinatorijska oblika običajnega politopa, če zanemarimo mnoge njegovih lastnosti kot so koti, dolžine robov itd. Ne obstoja Evklidski prostor, ki bi jih moral vsebovati.

Izraz politop je posplošitev pojmov mnogokotnik in polieder na področje poljubnega števila razsežnosti.

Običajni in abstraktni politop[uredi | uredi kodo]

V evklidski geometriji je zgornjih šest štirikotnikov popolnoma enakih (glej sliko na desni).

V teh primerih so povezave med elementi enake ne glede na fizični izgled povezav. Za takšne elemente pravimo, da so kombinatorijsko ekvivalentni. Ta ekvivalenca je vključena v sam pojem abstraktnega politopa. Zaradi tega so tudi vsi zgornji politopi enaki. Pravimo tudi, da so izomorfni ali “strukturo ohranjajoči“.

Lastnosti, ki so merljive v običajnih politopih, kot so koti, dolžine robov poševnost in konveksnost nimajo pomena pri abstraktnih politopih. Drugi običajni pojmi se lahko uporabijo, vendar ne vedno na enak način. Poskrbeti moramo za to, kaj velja za običajne politope, ki niso abstraktni. Zgled: običajni politop je pravilen, če so vse njegove facete in slike oglišč pravilne, kar za abstraktne politope to ne velja [1].

Definicija[uredi | uredi kodo]

Abstraktni politop je delno urejena množica, njene elemente imenujemo stranske ploskve, ki zadoščajo štirim aksiomom:

  1. Imajo najmanjšo stransko ploskev in največjo stransko ploskev
  2. Vse zastave vsebujejo isto število stranskih ploskev
  3. Je strogo povezan
  4. Vsak 1-odrezek je odsek premice

n-politop je politop z rangom n.

Osnovni pojmi[uredi | uredi kodo]

Politopi kot poseti[uredi | uredi kodo]

Politopi imajo razsežnostno hierahijo razen abstraktnih politopov. Tako imajo po vrsti oglišča, robovi in stranske ploskve razsežnosti 0, 1 in 2. Sama kocka pa je trirazsežna.

V abstraktni teoriji pojem ranga nadomešča pojem razsežnost. Tako imajo oglišča rang q in robovi rang 1.

Izraz stranska ploskev uporabljamo za element poljubnega ranga, za oglišča z rangom 0 ter robov z rangom 1 in ne samo za stranske ploskve z rangom 2. Poljubni element z rangom k imenujemo k-stranska ploskev.

Lahko definiramo politope kot množico stranskih ploskev P z relacijo ureditve <, ki zadošča določenim dodatnim aksiomom. Množico P imenujemo strogo delno urejeno množico ali poset.

Kadar je F<G pravimo, da je F podstranska ploskev za G ali tudi G ima podstransko ploskev F.

Lahko rečemo, da sta F in G incidentna, če je F=G ali F<G ali G<F.

Najmanjša in največja stranska ploskev[uredi | uredi kodo]

Podobno kot sta pojma ničle in neskončnosti nujna v matematiki, bi bilo koristno tudi, če bi vsak politop imel najmanjšo in največjo stransko ploskev. Najmanjša stranska ploskev bi bila podstranska ploskev vseh ostalih stranskih ploskev. Največja stranska ploskev bi bila tista, ki je podstranska vseh ostalih.

V resnici ima politop samo eno stransko ploskev. V tem primeru pa bi bili obe isti.

Največja in najmanjša stranska ploskev se imenujeta tudi nelastni stranski ploskvi, vse ostale pa imenujemo lastne.

Najmanjša stranska ploskev se imenuje tudi ničelna stranska ploskev, ker nima oglišč kot podstranskih ploskev.

Preprosti zgled[uredi | uredi kodo]

Vrsta stranske ploskve Rang (k) Število k-stranske ploskve
Najmanjša −1 1 F−1
Oglišče 0 4 a, b, c, d
Rob 1 4 W, X, Y, Z
Največja 2 1 G

Relacija < je določena kot množica parov, ki vključujejo

F−1<a, ... , F−1<X, ... , F−1<G, ... , b<Y, ... , c<G, ... , Z<G.

V tem primeru lahko pišemo robove W, X, Y in Z kot ab, ad, bc in cd. Pogosto uporabljamo to notacijo z oglišči, ki pa ni vedno primerna.

To včasih imenujemo tudi kvadratna in ne štirikotna, ker v abstraktnem svetu ni kotov ne robov in njihovih dolžin. Vsi štirje robovi so enaki in geometrija v vsakem oglišču je ista.

Relacije reda so tranzitivne, če je F<G in G<H, kar določa, da je tudi F<H. Da bi določali hierarhijo stranskih ploskev, ni potrebno, da bi uporabili vse primere F<H. Dovolj je, da uporabimo enega, če je ta naslednik drugega. To pomeni tam, kjer je F<H in noben G ne zadošča pogoju F<G<H.

Hassejev diagram[uredi | uredi kodo]

Graf (levo) in Hassejev diagram kvadrata s prikazanimi rangi (desno)

Manjši poseti in politopi se pogosto najlažje prikažejo s pomočjo Hassejevega diagrama. Po dogovoru se stranske ploskve istega ranga prikažejo na istem vertikalnem nivoju. Vsaka črta med stranskimi ploskvami označuje par F, G tako, da je F < G kjer je F pod G v diagramu.

Politop pogosto prikažemo kot graf obeh (Hassejevega diagrama in grafa) pa ne moremo enačiti. Graf ima oglišča in robove, nima pa drugih stranskih ploskev. V splošnem lahko imajo različni politopi tudi iste grafe. Za večino politopov ni možno za ostale stranske ploskve s pomočjo sklepanja dobiti iz grafa.

Razen tega Hassejev diagram popolnoma opisuje katerikoli poset. Vsa struktura je prikazana v Hassejevem diagramu. Izomorfni politopi se prikazujejo s Hassejevimi diagrami in obratno.

Rang[uredi | uredi kodo]

Rang stranske ploskve F je določen kot celo število (m - 2) , kjer je m največje število stranskih ploskev v poljubni verigi (F', F", ... , F) kjer je F' < F" < ... < F.

Rang delno urejene množice (poseta) P je maksimalni rang n poljubne stranske ploskve.

Najmanjša ploskev (nikakor pa nobena druga) ima rang -1. Največja stranska ploskev ima rang n . Pogosto to označujemo kot F-1 in Fn.

Rang stranske ploskve ali politopa običajno odgovarja razsežnosti za podobne pojme v tradicionalni teoriji, kar pa ni vedno res. Za zgled poglejmo stransko ploskev ranga 1, ki odgovarja robu, ki pa je enorazsežen. Toda poševni mnogokotnik je v običajni geometriji trirazsežen, ker ni raven. Njegov abstraktni ekvivalent in vsi abstraktni mnogokotniki pa imajo rang 2.

V naslednji preglednici so podani rangi za različne vrste stranskih ploskev:

Rang -1 0 1 2 3 ... n - 2 n - 1 n
Vrsta stranske ploskve Najmanjša Oglišče Rob Celica Sedlo Faceta Največja

Daljica[uredi | uredi kodo]

Daljica je poset, ki ima najmanjšo stransko ploskev oziroma dve 0-stranski ploskvi ter največjo stransko ploskev. Zgled: {ø, a, b, ab}. Sledi, da imata oglišči a in b rang 0 in da ima največja stranska ploskev ab (poset) rang enak 1.

Zastave[uredi | uredi kodo]

Zastava je največja veriga stranskih ploskev oziroma polno urejena množica Ψ.

Zgled:{ø, a, ab, abc} je zastava v trikotniku abc.

Dodatno zahtevamo še, da za dani politop, vse zastave vsebujejo isto število stranskih ploskev. Poseti v splošnem ne zadoščajo tej zahtevi. Zgled: poset {øabbcabc} ima 2 zastavi neenakih velikosti in tako ni politop.

Sekcije[uredi | uredi kodo]

Graf na levi strani in Hassejev diagram tristrane prizme kažeta 1-sekcijo (rdeče) in 2-sekcijo (zeleno).

Vsaka podmnožica P' poseta P je poset z isto relacijo < omejeno na P' .

Za dani stranski ploskvi F in H iz P za katero je FH se množica {G | FGH} imenuje sekcija za P in jo označujemo z H/F. V teoriji reda je sekcija zaprt interval poseta in ga označujemo z [F, H].

P je torej tudi sekcija.

Zgled: v prizmi abcxyz je sekcija xyz/ø (glej sliko na desni) (označena s svetlo zeleno) je trikotnik

{ø, x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.

K-sekcija je sekcija z rangom k.

Politop ki je podmnožica drugega politopa je vedno sekcija. Kvadrat abcd je podmnožica tetraedra abcd, ki pa ni njegova sekcija. Pojem sekcije nima istega pomena kot je v običajni geometriji.

Slike oglišč[uredi | uredi kodo]

Slika oglišč v danem oglišču V je (n−1)-sekcija Fn/V, kjer je Fn največja stranska ploskev.

Zgled: v trikotniku abc je slika oglišč pri b, abc/b je {b, ab, bc, abc}, kar pa je daljica. Slika oglišč kocke so trikotniki.

Povezljivost[uredi | uredi kodo]

Za poset P pravimo, da je povezan, če ima P rang ≤ 1 ali kadar za poljubni dve lastni stranski ploskvi F in G obstoja lastno zaporedje stranskih ploskev

H1, H2, ... ,Hk

tako, da je F = H1, G = Hk in za vsak Hi kjer je i < k, ki je incidenten svojemu nasledniku.

Zgornji pogoj zagotavlja, da par nepovezanih trikotnikov abc in xyz ni en politop.

Poset P je strogo povezan, če je vsaka sekcija P, vključno s P, povezana.

Z to dodatno zahtevo se dve piramidi s skupnim ogliščem izključujeta. Pri tem pa sta dve kvadratni piramidi lahko zlepljeni v njihovih kvadratnih stranskih ploskvah, kar da oktaeder. Skupna stranska ploskev pri tem ni stranska ploskev oktaedra.

Najenostavnejši politopi[uredi | uredi kodo]

Rang < 2[uredi | uredi kodo]

Obstoja samo po eden politop za vsak rang -1, 0 in 1. To so po vrsti ničelni politop, točka in daljica.

Za n ≤ 1 so vsi n-deli politopa n politopi. Stranske ploskve ranga 0 in 1 politopa se imenujejo oglišča in robovi.

Rang = 2[uredi | uredi kodo]

Za vsak p za katerega velja 3 ≤ p < \infty imamo abstraktni ekvivalent tradicionalnega mnogokotnika s p oglišči in p robovi ali p-kotnik. Za p =3, 4, 5,... imamo po vrsti trikotnik, kvadrat, petkotnik, ….

Za p = 2 imamo dvokotnik in za p = \infty dobimo apeirogon.

Dvokotnik[uredi | uredi kodo]

Graf (levo) in Hassejev diagram dvokotnika.

Dvokotnik je mnogokotnik z dvema robovoma. V nasprotju z ostalimi mnogokotniki imata oba roba isto oglišče. Zaradi tega ga včasih obravnavamo kot degeneriranega.

Za definicijo stranske ploskve uporabljamo "ogliščno notacijo". To pomeni, da za trikotnik abc zapišemo {ø, a, b, c, ab, ac, bc, abc}. Ta način je boljši kot uporaba relacije <.

Uporaba dvokotnika ter mnogih drugih abstraktnih politopov onemogoča uporabo ogliščne notacije. Namesto tega moramo dati stranskim ploskvam imena in specificirati podstranskim parom F<G.

To pomeni, da dvokotnik lahko definiramo kot množico {ø, a, b, E', E", G} z relacijo <, ki je dana z

{ø<a, ø<b, a<E', a<E", b<E', b<E", E'<G, E"<G}

kjer sta E' in E" dva roba in je G največja stranska ploskev.

Primeri višjih rangov[uredi | uredi kodo]

Kot je bilo omenjeno je pojem abstraktnega politopa zelo splošen. Vključuje:

  • apeirogone, to je neskončne politope ali teselacije
  • Razčlembe drugih mnogoterosti kot sta torus ali realna projektivna ravnina
  • Mnogo drugih objektov kot sta 11celica in 57 celica, ki običajno ne spadata v normalne geometrijske prostore.

V splošnem množica j stranskih ploskev tradicionalnega n-politopa tvori abstraktni n-politop.

Hozoedri in hozotopi[uredi | uredi kodo]

Šeststrani hozoeder, kot sferni polieder.

Dvokotnik je posplošitev hozoedra in več razsežnih hozotopov, ki jih realiziramo kot sferne poliedre. Vsi teselirajo sfero.

Projektivni politopi[uredi | uredi kodo]

Polkocka se dobi iz kocke s tem, da izenačimo nasprotna oglišča, robove in stranske ploskve. Ima 4 oglišča, 6 robov in 3 stranske ploskve.

Primeri neobičajnih abstraktnih poliedrov so polkocka (glej sliko), poloktaeder, poldodekaeder in polikozaeder. To so dvojniki platonskih teles. Lahko jih realiziramo kot projektivne poliedre. Vsi teselirajo realno projektivno ravnino.

Polkocka je primer tega kako se notacija s sliko oglišča ne more uporabiti za definicijo politopa. Vse 2-stranske ploskve in 3-stranske ploskve imajo isto skupino oglišč.

Dualnost[uredi | uredi kodo]

Vsak politop ima tudi svoj dual. Hassejev diagram duala je tisti, ki ima prvotni diagram obrnjen tako, da je zgornji del spodaj. V n-politopu se vsaka prvotna k-stranska ploskev preslika v (n-k-1)-stransko ploskev duala. To pomeni, da se n-stranska ploskev preslika v (-1)-stransko ploskev. Dual duala je izomorfen originalu.

Politop sebi dualnemu politopu je isti politop. To pomeni, da je izomorfen svojemu dualu. Torej je Hassejev diagram sebi dualnemu politopu simetričen okoli horizontalne osi na polovici med vrhom in dnom. Zgled: kvadratna piramida je sebi dualna.

Incidenčne matrike[uredi | uredi kodo]

Politop lahko prikažemo s njegovimi incidencami. Spodnja incidenčna matrika je za trikotnik:

Matrika prikazuje točko povsod tam, kjer je stranska ploskev tudipodstranska. Zaradi tega je matrika simetrična okoli glavne diagonale. Prav tako daje odvečni podatek. Dovolj bi bilo, če bi prikazovala točke tam, kjer je vrstica za stransko ploskev ≤ vrstica za stolpec stranske ploskve.

ø a b c ab bc ca abc
ø
a
b
c
ab
bc
ca
abc

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]