Celo število
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Množica célih števíl, običajno označena kot Z (Z ali 
) (nemško Zahlen: število) je določena kot množica ekvivalenčnih razredov urejenih parov naravnih števil N x N z ekvivalenčno relacijo (a, b) ~ (c, d), pri kateri velja:
- a + d = b + c.
Dvočleni aritmetični operaciji seštevanja in množenja celih števil sta določeni z:
- (a, b) + (c, d) ≡ (a + c,b + d),
- (a, b) · (c, d) ≡ (a · c + b · d, a · d + b · c).
Običajno razred (a, b) označimo z znakom n, če velja b ≤ a in -n, če je a ≤ b, kjer je n poljubno naravno število, da velja a = b + n in a + n = b. S takim zapisom cela števila tvorijo znano množico {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}. Nekaj primerov:
- 0 = ekvivalenčni razred (0, 0) = ekvivalenčni razred (1, 1) = ...
- 1 = ekvivalenčni razred (1, 0) = ekvivalenčni razred (2, 1) = ...
- -1 = ekvivalenčni razred (0, 1) = ekvivalenčni razred (1, 2) = ...
Množica celih števil je tako sestavljena iz množice naravnih števil N, {1, 2, 3, ...}, množice s številom 0, {0}, in množice negativnih celih števil {...,-3,-2,-1}. Množica celih števil je najmanjša grupa, ki vsebuje naravna števila.
Množica celih števil Z s seštevanjem in množenjem (Z, +, ·) tvori popolni obseg. Množica (Z, +, ·), v kateri veljajo običajne aritmetične operacije, je urejen kolobar:
- (a, b) ≤ (c, d)
Z, če je a + d ≤ b + c N.
Vsa števila, ki so večja od 0 so pozitivna. Število 0 ni pozitivno. Množica celih števil je števno neskončna, podobno kot je množica naravnih števil, ki jo vsebuje.
Množica celih števil ne tvori |polja, ker na primer ni takšnega celega števila, da bi veljalo 2 x = 1. Najmanjše polje, ki vsebuje cela števila je množica racionalnih števil.
Tudi cela števila kot naravna števila imajo pomembno lastnost delitve z ostankom. Če imamo dve celi števili a in b, b ≠ 0, lahko vedno najdemo takšni dve celi števili k in l, da bo veljalo:
- a = b · k + l in 0 ≤ l < |b|.
Število k se imenuje količnik (kvocient) in število l ostanek deljenja števila a s številom b. Števili k in l sta enolično določeni z a in b. S takšno delitvijo lahko z Evklidovim algoritmom izračunamo največji skupni delitelj. Največji skupni delitelj dveh celih števil lahko vedno zapišemo kot vsoto mnogokratnikov dveh števil.
Na ta način je množica Z Evklidov obseg. To pomeni, da je Z osnovni idealni obseg in lahko cela števila zapišemo kot produkt praštevil na natanko en način. To je osnovni izrek aritmetike. S celimi števili se kot veja matematike ukvarja teorija števil.
Celo število je po navadi eno izmed preprostih podatkovnih tipov v računalniških jezikih po navadi z dolžino 8, 16 ali 32 bitov. Cela števila se po navadi uporabljajo kot indeksi vektorskih polj (»array«).
