Kvaternion

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kvaternióni (množico kvaternionov označujemo s \mathbb H) so v matematiki sistem hiperkompleksnih števil in so nekomutativna razširitev kompleksnih števil. Najprej so imeli kvaternione za patološke, ker zanje ne velja zakon komutativnosti ab = ba, in so jih zato poskušali čimbolj nadomestiti z vektorji. Danes jih uporabljamo na mnogih področjih teoretične in uporabne matematike. Kvaternione je vpeljal irski matematik, fizik in astronom sir William Rowan Hamilton leta 1843.

Definicija[uredi | uredi kodo]

· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

Kompleksna števila dobimo, če realnim številom dodamo element i (imaginarno enoto), za katerega velja i^2 = -1, kvaternione pa, če realnim številom dodamo elemente i, j in k, za katere veljajo naslednje zveze:

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \!\, .

Splošna oblika kvaterniona je zapisana kot:

q = a + bi + cj + dk \!\, .

Pri tem so spremenljivke a \;, b \;, c \; in d \; realna števila.

Množica kvaternionov \mathbb {H} \, je enakovredna štiri-razsežnemu vektorskemu prostoru nad realnimi števili \mathbb {R}^4 \,. Množica \mathbb {H} \, ima tri operacije: seštevanje ter skalarno in kvaternionsko množenje. Vsota dveh elementov množice \mathbb {H} \, je vsota njenih elementov iz \mathbb {R}^4 \,. Podobno je zmnožek elementa iz \mathbb {H} \, z realnim številom enak kot zmnožek v \mathbb {R}^4 \,. Da bi definirali zmnožek dveh elementov v \mathbb {H} \,, moramo določiti bazo v \mathbb {R}^4 \,. Elemente ta baze običajno označujemo z  1, i, j, k \,. Vsak element iz \mathbb {H} \, se lahko napiše kot linearna kombinacija baznih elementov v obliki  a1 + bi + cj + dk \,, kjer so  a, b, c, d \, realna števila. Bazni element 1 je nevtralni element množice \mathbb {H} \,.

Hamiltonov produkt[uredi | uredi kodo]

Imejmo dva kvaterniona  a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \, in  a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k \, potem je njun Hamiltonov produkt  (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k)(a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)\, določen z zmnožkom baznih elementov in zakonom distributivnosti. To nam da naslednjo vrednost

a_1a_2 + a_1b_2i + a_1c_2j + a_1d_2k
{}+ b_1a_2i + b_1b_2i^2 + b_1c_2ij + b_1d_2ik
{}+ c_1a_2j + c_1b_2ji + c_1c_2j^2 + c_1d_2jk
{}+ d_1a_2k + d_1b_2ki + d_1c_2kj + d_1d_2k^2 \,.

Skalarni in vektorski del kvaterniona[uredi | uredi kodo]

Kvaternion oblike  a + 0i + 0j + 0k \, (a je realno število), se imenuje realni del kvaterniona. Kvaternion, ki ima obliko  0 + bi + cj + dk \, (b, c in d so realna števila), se imenuje čisti imaginarni kvaternion. Če je  a + bi + cj + dk \, kvaternion, potem imenujemo a skalarni del kvaterniona in  bi + cj + dk \, imenujemo vektorski del. Čeprav je vsak kvaternion vektor v štirirazsežnem vektorskem prostoru, lahko definiramo vektor kot čisti imaginarni kvaternion. S tem postane vektor isto kot element vektorskega prostora \mathbb {R}^3 \,.

Hamilton je imenoval imaginarne kvaternione kot prave kvaternione [1][2], realna števila pa so bila zanj skalarni kvaternioni.

Konjugirana ter obratna vrednost, norma in enotski kvaternion[uredi | uredi kodo]

Konjugirana vrednost[uredi | uredi kodo]

Konjugirana vrednost kvaterniona se določi podobno kot se določi konjugirana vrednost kompleksnega števila. Kadar je kvaternion enak  q = a + bi + cj + dk \, je njegova vrednost enaka  q = a - bi - cj - dk \,. Označujemo jo kot  q^{*} \, ali  \overline q   \,. Konjugacija je involucija, kar pomeni, da pri dvakratni konjugaciji dobimo prvotni element. Konjugacija produkta je produkt konjugiranih vrednosti v obratnem vrstnem redu. To je

 (pq)^{*} = q^* p^* \,.

Konjugirana vrednost kvaterniona se lahko prikaže kot kombinacija množenja in seštevanja

q^* = - \frac 1 2 (q + iqi + jqj + kqk).

Obratna vrednost[uredi | uredi kodo]

Obratno vrednost kvaterniona lahko določimo s pomočjo konjugirane vrednosti in norme

q^{-1} = \frac{q^*}{\lVert q\rVert^2}.

Norma kvaterniona[uredi | uredi kodo]

Norma kvaterniona je kvadratni koren iz zmnožka kvaterniona z njegovo konjugirano vrednostjo. Normo kvaterniona  q \, kot običajno označujemo s  ||q|| \,. Hamilton je to vrednost imenoval tenzor kvaterniona q, kar pa ni v skladu z modernim načinom uporabe izraza tenzor. Norma kvaterniona je

\lVert q \rVert = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \,.

Velja tudi

\lVert\alpha q\rVert = |\alpha|\lVert q\rVert.

Norma je multiplikativna, kar pomeni, da je

\lVert pq \rVert = \lVert p \rVert\lVert q \rVert.

S pomočjo norme lahko določimo tudi razdaljo  d(p, q) \, med kvaternionoma  p \, in  q \,, ki je norma njune razlike

d(p, q) = \lVert p - q \rVert \,.

To pa pomeni, da je \mathbb {H} \, metrični prostor.

Enotski kvaternion[uredi | uredi kodo]

Enotski kvaternion je kvaternion z normo 1. Dobimo ga iz

\mathbf{U}q = \frac{q}{\lVert q\rVert} \,.

Z \mathbf{U}q \, smo označili enotski kvaternion, ki ga imenujemo tudi versor kvaterniona  q \,.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Hamilton, Sir William Rowan (1866). Hamilton Elements of Quaternions article 285. str. 310]. 
  2. ^ Hardy Elements of quaternions. library.cornell.edu. str. 65. 

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]