Hiperkompleksno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Hiperkompleksno število je element algebre nad obsegom realnih ali kompleksnih števil. Med hiperkompleksna števila so včasih prištevali kvaternione, bikompleksna števila (tesarine), kokvaternione, bikvaternione in oktonione. Pojem hiperkompleksnega števila pokriva vse naštete vrste števil.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Hiperkompleksna števila so definirana kot končno razsežna algebra nad realnimi števili tako, da je algebra unitarna in distributivna (ni nujno, da je tudi asociativna). Elementi so zgrajeni z realnimi koeficienti  (a_0, \dots, a_n) \, z bazo  {1, i_1, \dots, i_n} \,. Primerno je, da normaliziramo bazo tako, da velja i_k^2 \in \{ -1, 0, +1 \}. Osnovni primer uporabe hiperkompleksnih števil ima razsežnost 2 . Višje razsežnosti se dobijo kot Cliffordove ali algebraične vsote drugih algeber.

Dvorazsežne realne algebre[uredi | uredi kodo]

Znane so samo tri dvorazsežne algebre nad realnimi števili: običajna kompleksna števila, hiperbolična kompleksna števila in dualna števila

Večrazsežne algebre[uredi | uredi kodo]

Cliffordova algebra je unitarna in asociativna algebra nad vektorskim prostorom, ki vsebuje tudi kvadratno formo. To je enakovredno možnosti definiranja skalarnega produkta, ki lahko ortogonalizira kvadratno formo, da dobimo množico baznih vektorjev  {e_1, \dots, e_k} \, tako, da velja

\tfrac{1}{2} (e_i e_j + e_j e_i) = \Bigg\{  \begin{matrix} -1, 0, +1  & i=j,  \\
                                   0 &  i \not = j \end{matrix}

Cliffordove algebre označujemo s  Cl_{p,q} (R) \,, kjer p pomeni elemente baze z  e_i^2 = +1 \, ter q je  e_i^2 = -1 \,, oznaka R pomeni, da imamo Cliffordovo algebro nad realnimi števili.

Primeri: [1]

Tenzorski produkt[uredi | uredi kodo]

Tenzorski produkt poljubnih algeber je druga algebra, s pomočjo katere lahko kreiramo še več sistemov hiperkompleksnih števil.

Tenzorski produkt s kompleksnimi števili nam da 4-razsežne tesarine \mathbb C\otimes\mathbb C, 8-razsežne bikvaternione dobimo s tenzorskim produktom \mathbb C\otimes\mathbb H in 16-razsežne oktonione dobimo s tenzorskim produktom \mathbb C\otimes\mathbb O.

Ostali primeri[uredi | uredi kodo]

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Hiperkompleksna števila obsegajo vso zgoraj našteta števila. Poskušalo se je urediti sistem vseh teh števil že v letu 1872, ko je ameriški matematik Benjamin Peirce (1809 – 1880) objavil svoje delo Linear Associative Algebra. Nemška matematika Adolf Hurwitz (1859 – 1919) in Ferdinand Georg Frobenius (1849 – 1917) sta dokazala dva izreka (Hurwitzov izrek in Frobeniusov izrek), s katerima sta postavila omejitve hiperkompleksnosti.

V letu 1929 je o hiperkompleksnih številih pisala tudi nemška matematičarka Emmy Noether ( 1882 – 1935) na Kolidžu Bryn Mawr v Pensilvaniji (ZDA) v kraju Brin Mawr. Tudi v delu o moderni algebri je nizozemski matematik Bartel Leendert van der Waerden (1903 – 1996) posvetil hiperkompleksnim številom večje število strani v svoji knjigi Zgodovina algebre (History of Algebra).

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]