Bikvaternion

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Bikvaternion (tudi dvojni kvaternion) je v abstraktni algebri število z obliko  w + xi + yj + zk \,,

kjer so

Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil, imamo tudi tri tipe bikvaternionov

Definicija[uredi | uredi kodo]

Če je  {1, i, j, k} \, baza kvaternionov in so  u, v, w, x \, kompleksna števila, potem je bikvaternion  q \, enak

 q = u1 + vi + wj + xk \, [1]

Da bi ločila kvadratni koren iz -1 nad skalarnim obsegom \mathbb{C} \, v kvaternionih sta irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton [2][3] (1805 - 1865) in irski matematik Arthur William Conway (1875 – 1950) prevzela dogovor, da je oznaka enaka  h \,, ker je  i \, v kvaternionski grupi. To pomeni, da je

hi = ih \,, hj = jh \,, in hk = kh \,, ker je h \, skalar.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Algebra bikvaternionov je asociativna, ni pa komutativna. Lahko se obravnava kot tenzorski produkt \mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\, (nad realnimi števili), kjer je \mathbb{C} obseg kompleksnih števil in \mathbb{H}\, je algebra kvaternionov. Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov.

Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki

  • kvaternionska konjugacija q^* = w - xi - yj - zk \!
  • kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov

q^{\star} = w^{\star} + x^{\star} i + y^{\star} j + z^{\star} k \! kjer je

  • z^{\star} = a - bh kadar je z = a + bh,\quad a,b \in R,\quad h^2 = -1 \,.

Pri tem pa velja

(pq)^* = q^* p^*, \quad (pq)^{\star} = p^{\star} q^{\star} , \quad (q^*)^{\star} = (q^{\star})^* \,.

Vloga v teoriji kolobarjev[uredi | uredi kodo]

Linearna predstavitev[uredi | uredi kodo]

Poglejmo zmnožek dveh matrik:

\begin{pmatrix}i & 0\\0 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}.

Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat, ki je enak negativni enotski matriki. Če zmnožek matrik prikažemo kot  ij = k \,, potem se dobi podgrupa matričnih grup, ki je izmorfna kvaternionski grupi. To pomeni, da

\begin{pmatrix}u+iv & w+ix\\-w+ix & u-iv\end{pmatrix}

predstavlja kvaternion.

Podalgebre[uredi | uredi kodo]

Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil \mathbb{R}\,, potem tvori bazo  {1, h, i, hi, hj, hk}\, tako, da ima algebra osem realnih razsežnosti. Pri tem pa je

(hi)^2 \ = \  h^2 i^2 \ = \ (-1) (-1) \ =\  +1 .

Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini hiperboličnih števil, ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol. Elementa hj \, in hk \, tudi določata takšne podalgebre. Pri tem pa je \lbrace x + yj : x,y \in C \rbrace algebra, ki je izomorfna s tesarinami.

Tretjo podalgebro določata  hj \, in  hk \,. Pri tem je treba upoštevati, da je  (hj)(hk) = (-1)i \, in, da je kvadrat tega elementa enak -1. Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov. Linearni podprostor z bazo  {1, i, hj, hk} \, tvori kokvaternionsko algebro.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Hamilton (1853) stran 639
  2. ^ Hamilton (1853) stran 730
  3. ^ Hamilton (1899) Elements of Quaternions, 2. izdaja, stran 289

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]