Bikompleksno število

Množenje tesarin

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	k	+1	i
k	k	−j	i	−1

Bikompleksno število (tudi tesarina) je hiperkompleksno število, ki ima obliko

$t = w + x i + y j + z k, \quad w, x, y, z \in R$

kjer je

• $i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = +1$.

Tesarine je uvedel angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) v letu 1848.

Tesarine so najbolj znane po podalgebri realnih tesarin, ki imajo obliko $w + yj \,$, ki jih imenujemo tudi hiperbolična števila (razcepljena ali razklana kompleksna števila), ki predstavljajo parametrizacijo enotske hiperbole.

Linearna predstavitev

Za bikompleksno število (tesarino) $t = w + xi + yj + zk \,$ velja $t = (w + xi) + (y + zi) \,$ ker je $ij = k \,$. Preslikava

$t \mapsto \begin{bmatrix} p & q \\ q & p \end{bmatrix}, \quad p = w + xi, \quad q = y + zi$

je linearni prikaz algebre bikompleksnih števil kot podalgebra matrik $2 \times 2 \,$. V nasprotju z večino matričnih algeber j eta algebra komutativna.

Izomorfizmi z drugimi številskimi sistemi

Kadr sta w in z kompleksni števili

$w =~a + ib$

$z =~c + id$

kjer so

• $a, b, c, d \,$ realna števila

potem je algebra $t \,$ izomorfna koničnim kvaternionom $a + bi + c\epsilon + di_0 \,$ z bazo $\{1, i, \epsilon, i_0\} \,$ z naslednjimi vrednostmi

$1 \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \qquad i \equiv \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix} \qquad \varepsilon \equiv \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \qquad i_0 \equiv \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{bmatrix}$.

So pa tudi izomorfni z bikompleksnimi števili (od multikompleksnih števil) z bazo $\{1, i_1, i_2, j\} \,$, ki so določeni kot

$1 \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \qquad i_1 \equiv \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix} \qquad i_2 \equiv \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{bmatrix} \qquad j \equiv \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}.$.

Kadar sta $w \,$ in $z \,$ kvaterniona z bazo $\{1, i_1, i_2, i_3\} \,$ je nastala algebra identična s koničnimi sedenioni.

Zunanje povezave

• Komutativna hiperkompleksna matematika (v angleščini)
• Hiperkompleksne algebre (v angleščini)
• Tesarine (v angleščini)