Bikompleksno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Množenje tesarin
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k +1 i
k k j i −1

Bikompleksno število (tudi tesarina) je hiperkompleksno število, ki ima obliko

t = w + x i + y j + z k, \quad w, x, y, z \in R

kjer je

  •  i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = +1 .

Tesarine je uvedel angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) v letu 1848.

Tesarine so najbolj znane po podalgebri realnih tesarin, ki imajo obliko  w + yj \,, ki jih imenujemo tudi hiperbolična števila (razcepljena ali razklana kompleksna števila), ki predstavljajo parametrizacijo enotske hiperbole.

Linearna predstavitev[uredi | uredi kodo]

Za bikompleksno število (tesarino)  t = w + xi + yj + zk \, velja  t = (w + xi) + (y + zi) \, ker je  ij = k \,. Preslikava

t \mapsto \begin{bmatrix} p & q \\ q & p \end{bmatrix}, \quad p = w + xi, \quad q = y + zi

je linearni prikaz algebre bikompleksnih števil kot podalgebra matrik  2 \times 2 \,. V nasprotju z večino matričnih algeber j eta algebra komutativna.

Izomorfizmi z drugimi številskimi sistemi[uredi | uredi kodo]

Kadr sta w in z kompleksni števili

w =~a + ib
z =~c + id

kjer so

potem je algebra  t \, izomorfna koničnim kvaternionom  a + bi + c\epsilon + di_0 \, z bazo  \{1, i, \epsilon, i_0\} \, z naslednjimi vrednostmi

1 \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \qquad i \equiv \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix} \qquad \varepsilon \equiv \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \qquad i_0 \equiv \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{bmatrix}.

So pa tudi izomorfni z bikompleksnimi števili (od multikompleksnih števil) z bazo  \{1, i_1, i_2, j\} \,, ki so določeni kot

1 \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \qquad i_1 \equiv \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix} \qquad i_2 \equiv \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{bmatrix} \qquad j \equiv \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}..

Kadar sta  w \, in  z \, kvaterniona z bazo  \{1, i_1, i_2, i_3\} \, je nastala algebra identična s koničnimi sedenioni.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]