Deljivost brez kvadrata

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Množice celih števil
glede na deljivost
Oblika razcepa:
praštevilo
sestavljeno
popolna potenca
močno
polpraštevilo
deljivo brez kvadrata
Ahilovo
Vsiljene vsote deliteljev:
popolno
skoraj popolno
navidezno popolno
mnogokratno popolno
hiperpopolno
enotno popolno
polpopolno
primitivno polpopolno
praktično
Števila z mnogo delitelji:
obilno
zelo obilno
nadobilno
izjemno obilno
zelo sestavljeno
izredno zelo sestavljeno
Drugo:
nezadostno
čudno
prijateljsko
tovariško
družabno
osamljeno
vzvišeno
s harmoničnimi delitelji
varčno
enakoštevčno
potratno
nedotakljivo
Glej tudi:
število deliteljev
delitelj
prafaktor
praštevilski razcep
faktorizacija

Celo število n je v matematiki deljivo brez kvadrata tedaj in le tedaj, če ni deljivo s popolnim kvadratom, razen števila 1. Število 10 je na primer deljivo brez kvadrata 10 = 2 · 5, 20 pa ni, saj je deljivo s 4 = 2^{2}. Prva števila, deljiva brez kvadrata so (OEIS A005117):

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, ...

Enakovredne označbe števil deljivih brez kvadrata[uredi | uredi kodo]

Pozitivno celo število n je deljivo brez kvadrata, če in samo, če se v praštevilski razcepitvi n nobeno praštevilo ne pojavi več kot enkrat. Ali drugače povedano: za vsak praštevilski delitelj p števila n, praštevilo p ne deli n / p. n je deljivo brez kvadrata, samo če sta v vsaki razcepitvi n=ab faktorja a in b med seboj tuja.

Pozitivno celo število n je deljivo brez kvadrata samo, če je μ(n) ≠ 0, kjer je μ Möbiusova funkcija.

Pozitivno celo število n je deljivo brez kvadrata, če in samo če, so vse Abelove grupe reda n izomorfne, to je v primeru, če so vse ciklične. To dejstvo izhaja iz klasifikacije končnoporojenih Abelovih grup.

Celo število n je deljivo brez kvadrata, če in samo, če je faktorski kolobar Z / ''n''Z (glej modularna aritmetika) produkt obsegov. To izhaja iz kitajskega izreka ostankov in iz dejstva, da je kolobar oblike Z / kZ obseg tedaj in le tedaj, če je k praštevilo.

Za vsako celo število n množica vseh njegovih pozitivnih deliteljev postane delno urejena, če kot relacijo urejenosti uporabimo deljivost: a <= b, če a deli b. Ta delno urejena množica je vedno distributivna rešetka. Je Booleova algebra, če in samo, če je n deljiv brez kvadrata.

Radikal celega števila, produkt vseh različnih praštevil, ki so deljiva z n, je vedno deljiv brez kvadrata, in je hkrati največji delitelj n, deljiv brez kvarata. Radikal števila 504 je na primer 42, saj je 504 = 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 7 in 42 = 2\cdot 3\cdot 7.

Porazdelitev števil deljivih brez kvadrata[uredi | uredi kodo]

Če Q(x) označuje število števil deljivih brez kvadrata, manjših ali enakih x, potem velja:

Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x}) \!\, ,

(kjer je O zapis Landauov simbol (glej še π)). Gostota števil deljivih brez kvadrata je tako:

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta (2)} \approx 0,6079271 \!\, ,

kjer je ζ Riemannova funkcija zeta.

Če Q(x,n) označuje število n-tih potenc števil deljivih brez kvadrata, manjših ali enakih x, potem velja enako:

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)} \!\, .

Nekatera števila, deljiva brez kvadrata so podolžna števila, ne pa vsa. 2 in 6 sta podolžni števili, podolžni števili 12 in 20 pa npr. nista deljivi brez kvadrata.

Dvojiški zapis[uredi | uredi kodo]

Če predstavimo število deljivo brez kvadrata kot neskončni produkt:

\prod_{n=0}^\infty {p_{n+1}}^{a_n}, a_n \in \lbrace 0, 1 \rbrace \!\, ,

kjer je p_n n-to praštevilo, lahko vzememo vse neničelne a_{n} in jih uporabimo kot bite v dvojiškem zapisu števila, oziroma (OEIS A048672):

\sum_{n=0}^\infty {a_{n}}\cdot 2^{n} \! \, .

Razcep števila 42, ki je deljivo brez kvadrata, je 2 · 3 · 7, oziroma kot neskončni produkt: 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 · .... Na ta način ga lahko zapišemo kot dvojiško zaporedje ...001011 ali zapisano desetiško kot 11, kjer smo dvojiške števke obrnili glede na razpored v neskončnem produktu.

Ker je praštevilski razcep vsakega števila enoličen, je enoličen tudi dvojiški zapis vsakega celega števila deljivega brez kvadrata. Tudi obratno velja. Ker lahko vsako pozitivno celo število enolično zapišemo dvojiško, ga lahko z obrnjenimi števkami enolično zapišemo kot celo število deljivo brez kvadrata.

Če na primer začnemo s številom 42, preprosto kot pozitivno število, je njegov dvojiški zapis enak 101010. To lahko naprej zapišemo kot: 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 · 7 · 13 = 273.

To med drugim nakazuje, da je moč množice celih števil deljivih brez kvadrata enaka moči množice celih števil. Po vrsti to vodi do dejstva, da so zapisi celih števil deljivih brez kvadrata permutacija množice celih števil.

Erdőseva domneva o deljivosti brez kvadrata[uredi | uredi kodo]

Srednji binomski koeficient:

{2n \choose n} \!\,

ni nikoli deljiv brez kvadrata za n > 4. Domnevo sta leta 1996 dokazala Olivier Ramaré in Andrew James Granville.