Močno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Množice celih števil
glede na deljivost
Oblika razcepa:
praštevilo
sestavljeno
močno
polpraštevilo
deljivo brez kvadrata
Ahilovo
Vsiljene vsote deliteljev:
popolno
skoraj popolno
navidezno popolno
mnogokratno popolno
hiperpopolno
enotno popolno
polpopolno
primitivno polpopolno
praktično
Števila z mnogo delitelji:
obilno
zelo obilno
nadobilno
izjemno obilno
zelo sestavljeno
izredno zelo sestavljeno
Drugo:
nezadostno
čudno
prijateljsko
tovariško
družabno
osamljeno
vzvišeno
s harmoničnimi delitelji
varčno
enakoštevčno
potratno
nedotakljivo
Glej tudi:
število deliteljev
delitelj
prafaktor
praštevilski razcep
faktorizacija

Močno število je sestavljeno število, ki ga ob praštevilskem razcepu lahko zapišemo z eno samo potenco. Imenujemo ga tudi popolna potenca.

Potenca je oblike a^{b}, le da pri močnem številu za b vedno velja b>1. Če je b = 2, govorimo o popolnem kvadratu, pri b=3 pa o popolnem kubu.

Prva močna števila so: (OEIS A001597)

  • 1^n=1
  • 2^2=4
  • 2^3=8
  • 3^2=9
  • 2^4=4^2=16
  • 5^2=25
  • 3^3=27
  • 2^5=32
  • 6^2=36
  • 7^2=49
  • 2^6=4^3=8^2=64
  • 3^4=9^2=81
  • 10^2=100
  • ...

Prva močna števila, ki imajo različne faktorizacije so: (OEIS A117453)

1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...

Vsote[uredi | uredi kodo]

Vsota obratnih vrednosti močnih števil (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:

 \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}}=1 \!\, ,

kar lahko dokažemo kot sledi:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} = 1 \, .

Po Eulerju je Goldbach dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(p−1) v množici močnih števil p, brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}-1} \equiv \sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.

To dejstvo se včasih imenuje Goldbach-Eulerjev izrek.