Močno število

Potenca je oblike $a^{b}$ , le da pri močnem številu za b vedno velja $b>1$ . Če je $b = 2$ , govorimo o popolnem kvadratu, pri $b=3$ pa o popolnem kubu.

Prva močna števila so: (OEIS A001597)

$1^n=1$
$2^2=4$
$2^3=8$
$3^2=9$
$2^4=4^2=16$
$5^2=25$
$3^3=27$
$2^5=32$
$6^2=36$
$7^2=49$
$2^6=4^3=8^2=64$
$3^4=9^2=81$
$10^2=100$
...

Prva močna števila, ki imajo različne faktorizacije so: (OEIS A117453)

1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...

Vsote [uredi]

Vsota obratnih vrednosti močnih števil (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:

$\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}}=1 \!\, ,$

kar lahko dokažemo kot sledi:

$\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right) =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} = 1 \, .$

Po Eulerju je Goldbach dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(p−1) v množici močnih števil p, brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:

$\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}-1} \equiv \sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.$

To dejstvo se včasih imenuje Goldbach-Eulerjev izrek.

Močno število

Vsote [uredi]

Navigacijski meni

Osebna orodja

Imenski prostori

Različice

Pogled

Dejanja

Iskanje

Navigacija

Občestvo

Podpora

Tiskanje/izvoz

Pripomočki

V drugih jezikih