Popolna potenca

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Množice celih števil
glede na deljivost
Oblika razcepa:
praštevilo
sestavljeno
popolna potenca
močno
polpraštevilo
deljivo brez kvadrata
Ahilovo
Vsiljene vsote deliteljev:
popolno
skoraj popolno
navidezno popolno
mnogokratno popolno
hiperpopolno
enotno popolno
polpopolno
primitivno polpopolno
praktično
Števila z mnogo delitelji:
obilno
zelo obilno
nadobilno
izjemno obilno
zelo sestavljeno
izredno zelo sestavljeno
Drugo:
nezadostno
čudno
prijateljsko
tovariško
družabno
osamljeno
vzvišeno
s harmoničnimi delitelji
varčno
enakoštevčno
potratno
nedotakljivo
Glej tudi:
število deliteljev
delitelj
prafaktor
praštevilski razcep
faktorizacija

Popolna potenca je v matematiki sestavljeno pozitivno celo število, ki se ob praštevilskem razcepu lahko zapiše z eno samo celoštevilsko potenco. n\, je popolna potenca, če obstajata takšni naravni števili m > 1\, in k > 1\, , da velja m^{k} = n\, . V tem primeru se n\, imenuje popolna k-ta potenca.

Potenca je oblike m^{k}\, , le da pri popolni potenci za k\, vedno velja k > 1\, . Če je k = 2\, , se potenca imenuje popolni kvadrat, pri k = 3\, pa popolni kub. Včasih število 1 tudi velja za popolno potenco (1^{k} = 1\, za poljubni k\, ).

Prve popolne potence so (OEIS A072103):

  • 1^n=1
  • 2^2=4
  • 2^3=8
  • 3^2=9
  • 2^4=4^2=16
  • 5^2=25
  • 3^3=27
  • 2^5=32
  • 6^2=36
  • 7^2=49
  • 2^6=4^3=8^2=64
  • 3^4=9^2=81
  • 10^2=100
  • ...

Prve popolne potence brez podvojitev so (OEIS A001597):

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ...

Prve popolne potence z različnimi faktorizacijami so (OEIS A117453):

1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...

Vsote[uredi | uredi kodo]

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:

 \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}}=1 \!\, ,

kar se lahko dokaže kot sledi:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} = 1 \, .

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc p brez podvojitev je enaka (OEIS A072102):

 \sum_{p}\frac{1}{p}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k) \left( 1-\zeta(k) \right) \approx 0,874464368 \dots

kjer sta μ(k) Möbiusova funkcija in ζ(k) Riemannova funkcija zeta.

Po Eulerju je Goldbach dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(p−1) v množici popolnih potenc p, brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}-1} \equiv \sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.

To dejstvo se včasih imenuje Goldbach-Eulerjev izrek.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]