Kardinalnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.[1]

Kardinalnost množice  A \, se običajno označuje z  | A | \,, kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še \overline{\overline{A}}\, in # A.

Primerjava množic[uredi | uredi kodo]

Zgled: množica  E = {0, 2, 4, 6, \dots} \, nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica  N = {0, 1, 2, 3, \dots} \, naravnih števil, ker je funkcija  f(n) = 2n \, bijektivna preslikava iz  N \, v  E \,.
  •  |A| \ge |B| \,. V tem primeru ima množica  A \, večjo ali enako kardinalnost kot  B \,, če obstoja injektivna funkcija za preslikavo iz  B \, v  A \,.
  •  |A| > |B| \,. V tem primeru je kardinalnost množice  A \, večja od kardinalnosti množice  B \,. To se zgodi, če obstoja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice  B \, v množico  A \,.

Kardinalno število[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Kardinalno število.

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots .

Za vsako ordinalno število  \alpha \, je  \aleph_{\alpha + 1} \, najmanjše kardinalno število večje od  \aleph_{\alpha} \, (oznaka  \aleph \, je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z  \aleph_0 \,, (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s \mathfrak{c} \, in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja  c = 2^{\aleph_0} \,, kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je  \aleph_1 = 2^{\aleph_0} \,. To pa pomeni,da je  2^{\aleph_0} \, najmanjše kardinalno število večje od  {\aleph_0} \,. To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuuma[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Kardinalnost kontinuuma.

Kardinalnost kontinuuma se označuje s \mathfrak{c}. Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka  \aleph_0 \,). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.

\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > {\aleph_0}.

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

\mathfrak{c} = \aleph_1 = \beth_1 \!\, ,

kjer je:

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Cardinal Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]