Kardinalnost

Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.

Kardinalnost množice $A \,$ se običajno označuje z $| A | \,$, kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še $\overline{\overline{A}}\,$ in # A.

Primerjava množic

• $|A| = |B| \,$. V tem primeru imata množici enako kardinalnost, če obstoja bijektivna preslikava (to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz $A \,$ v $B \,$).

Zgled: množica $E = {0, 2, 4, 6, \dots} \,$ nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica $N = {0, 1, 2, 3, \dots} \,$ naravnih števil, ker je funkcija $f(n) = 2n \,$ bijektivna preslikava iz $N \,$ v $E \,$.

• $|A| \ge |B| \,$. V tem primeru ima množica $A \,$ večjo ali enako kardinalnost kot $B \,$, če obstoja injektivna funkcija za preslikavo iz $B \,$ v $A \,$.
• $|A| > |B| \,$. V tem primeru je kardinalnost množice $A \,$ večja od kardinalnosti množice $B \,$. To se zgodi, če obstoja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice $B \,$ v množico $A \,$.

Kardinalno število

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots .$

Za vsako ordinalno število $\alpha \,$ je $\aleph_{\alpha + 1} \,$ najmanjše kardinalno število večje od $\aleph_{\alpha} \,$ (oznaka $\aleph \,$ je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z $\aleph_0 \,$, (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s $\mathfrak{c} \,$ in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja $c = 2^{\aleph_0} \,$, kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je $\aleph_1 = 2^{\aleph_0} \,$. To pa pomeni,da je $2^{\aleph_0} \,$ najmanjše kardinalno število večje od ${\aleph_0} \,$. To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuuma

Kardinalnost kontinuuma se označuje s $\mathfrak{c}$. Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka $\aleph_0 \,$). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.

$\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > {\aleph_0}$.

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

$\mathfrak{c} = \aleph_1 = \beth_1 \!\, ,$

kjer je:

• $\aleph_0 \,$ kardinalnost naravnih števil (alef nič)
• $\beth \,$ število bet

Zunanje povezave

• Kardinalno število (v angleščini)
• Kardinalnost na PlanethMath (v angleščini)
• Kardinalnost na MathWorld (v angleščini)
• Kardinalnost (v angleščini)