Število bet

Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot $\aleph \,$). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za $\aleph \,$.

Definicija

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z $\mathbb{N}$:

$\beth_0=\aleph_0 \!\, .$

Označimo s $P(A) \,$ potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice $A \,$. Potem velja:

$\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}} \!\, .$

To pa je kardinalnost potenčne množice $A \,$, če je $\beth_{\alpha}\,$ kardinalnost množice $A \,$.

Po tej definiciji so:

$\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots$

kardinalnosti naslednjih množic:

$\mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots .$

To pomeni, da je drugo število bet $\beth_1 \,$ enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka $\mathfrak c$). Tretje število bet $\beth_2 \,$ je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alef

V skladu s aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med $\aleph_0 \,$ in $\aleph_1 \,$ sledi, da je:

$\beth_1 \ge \aleph_1 \!\, .$.

To pomeni, da za vsako ordinalno število $\alpha \,$ velja:

$\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha \!\, .$

Domneva kontinuuma nam da:

$\beth_1=\aleph_1 \!\, .$

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

$\beth_\alpha = \aleph_\alpha \!\, .$

Nekatera kardinalna števila bet

Bet nič

Naslednjim množicam pripada kardinalnost $\beth_0 \,$:

• naravna števila $\mathbb{N} \,$
• racionalna števila $\mathbb{Q} \,$
• algebrska števila
• končna množica celih števil $\mathbb{Z} \,$

Bet ena

Naslednjim množicam pripada kardinalnost $\beth_1 \,$:

• transcendentna števila
• iracionalna števila
• realna števila $\mathbb{R} \,$
• kompleksna števila $\mathbb{C} \,$
• Evklidski prostor $\mathbb{R}^{n} \,$
• potenčna množica naravnih števil
• množica zaporedij celih števil $\mathbb{Z}^{n} \,$
• množica zaporedij realnih števil $\mathbb{R}^{n} \,$
• množica zveznih funkcij iz $\mathbb{R} \,$ v $\mathbb{R} \,$
• množica končnih podmnožic realnih števil

Bet dva

Naslednjim množicam pripada kardinalnost $\beth_2 \,$:

• potenčna množica množice realnih števil
• potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil
• množica funkcij iz $\mathbb{R} \,$ v $\mathbb{R} \,$ ($\mathbb{R}^{r} \,$)
• množica funkcij iz $\mathbb{R}^{m} \,$ v $\mathbb{R}^{n} \,$
• potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe
• Stone-Čechova kompaktifikacija za $\mathbb{R} \,$, $\mathbb{Q} \,$ in $\mathbb{N} \,$

Glej tudi

• kardinalnost
• število alef

Zunanje povezave

• Število bet na WordiQ (v angleščini)