Število bet

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot  \aleph \,). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za  \aleph \,.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z \mathbb{N}:

 \beth_0=\aleph_0 \!\, .

Označimo s  P(A) \, potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice  A \,. Potem velja:

 \beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}} \!\, .

To pa je kardinalnost potenčne množice  A \,, če je  \beth_{\alpha}\, kardinalnost množice  A \,.

Po tej definiciji so:

 \beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots

kardinalnosti naslednjih množic:

 \mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots .

To pomeni, da je drugo število bet  \beth_1 \, enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka \mathfrak c). Tretje število bet  \beth_2 \, je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alef[uredi | uredi kodo]

V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med  \aleph_0 \, in  \aleph_1 \, sledi, da je:

 \beth_1 \ge \aleph_1 \!\, . .

To pomeni, da za vsako ordinalno število  \alpha \, velja:

 \beth_\alpha \ge \aleph_\alpha \!\, .

Domneva kontinuuma nam da:

 \beth_1=\aleph_1 \!\, .

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

 \beth_\alpha = \aleph_\alpha \!\, .

Nekatera kardinalna števila bet[uredi | uredi kodo]

Bet nič[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost  \beth_0 \,:

Bet ena[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost  \beth_1 \,:

Bet dva[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost  \beth_2 \,:

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]