Zvezna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.

Matematična definicija[uredi | uredi kodo]

Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo s takoimenovano epsilon-delta definicijo, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:

Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:

|a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon

(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje od f(a).)

Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

\lim_{x\to a} f(x)=f(a)

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Zgledi zveznih funkcij:

Graf funkcije signum

Za primer nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:

\sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1; & \text{za} &  x < 0 \\
0; & \text{za} &  x = 0 \\
1; & \text{za} &  x > 0 \end{matrix} \right.

Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.