Zvezna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.

Matematična definicija[uredi | uredi kodo]

Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo z definicijo epsilon-delta, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:

Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:

 |a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon \!\, .

(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje od f(a).)

Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

 \lim_{x\to a} f(x)=f(a) \!\, .

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Zgledi zveznih funkcij:

Graf funkcije signum

Za zgled nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:

\sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1; & \text{za} &  x < 0 \\
0; & \text{za} &  x = 0 \\
1; & \text{za} &  x > 0 \end{matrix} \right.

Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Obliko definicije (ε, δ) zveznosti je prvi podal Bernard Bolzano leta 1817. Cauchy je pri definiciji zveznosti funkcije y=f(x)\, upošteval, da neskončno majhni prirastek \alpha\, neodvisne spremenljivke zmeraj povzroči neskončno majhno spremembo f(x+\alpha)-f(x)\, odvisne spremenljivke y. (glej npr. Cours d'Analyse, str. 34). Neskončno majhne količine je definiral s pomočjo spremenljivih količin, njegova definicija zveznosti ustreza sodobni definiciji infinitezimal (glej mikrozveznost). Formalno definicijo in razliko med zveznostjo po točkah in enakomerno zveznostjo je prvi podal Bolzano v 1830-ih, vendar njegovo delo ni bilo objavljeno do 1930-ih. Eduard Heine je pripravil prvo objavljeno definicijo enakomerne zveznosti leta 1872, ki je temeljila na zamislih iz predavanj o določenih integralih Johanna Petra Gustava Lejeunea Dirichleta leta 1854.[1]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005). "Bolzano and uniform continuity". Historia Mathematica 32 (3): 303–311.