Limita funkcije

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Limíta fúnkcije v točki a je število, ki se mu vrednost funkcije f(x) približuje, ko se vrednost spremenljivke x približuje danemu številu a.

Limito funkcije v točki a označimo \lim_{x\to a} f(x) (beri: "limita f(x), ko gre x proti a).

Limita funkcije v točki a je enaka funkcijski vrednosti f(a), če in samo če je funkcija v točki a zvezna.

Matematična definicija[uredi | uredi kodo]

Limita funkcije je definirana s pomočjo limite zaporedja.

Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo zaporedje xn, ki ima limito a. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti yn = f(xn). Če ima dobljeno zaporedje yn limito b in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje xn, ki gre proti a, potem število b imenujemo limita funkcije f v točki a.

Računanje limite[uredi | uredi kodo]

Krajšanje[uredi | uredi kodo]

V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni a.

Zgled: funkcija f(x)=\frac{x^2-9}{4x-12} pri x = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito:

\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{4x-12}= \lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x+3)}{4(x-3)}= \lim_{x\to3} \frac{x+3}{4} = \frac{3+3}{4} =\frac{3}{2}

Torej za zgornjo funkcijo velja: če se x približuje vrednosti 3, se f(x) približuje vrednosti 3/2.

L'Hôpitalovo pravilo[uredi | uredi kodo]

Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je l'Hôpitalovo pravilo. Če se števec in imenovalec funkcije oba približujeta vrednosti 0 (ko gre x proti a), potem lahko števec in imenovalec odvajamo in velja:

\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}

Zgled za uporabo l'Hôpitalovega pravila:

\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=\frac{\cos 0}{1} = 1