Osnovni izrek infinitezimalnega računa

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Osnovni izrek infinitizimalnega računa (tudi osnovni izrek matematične analize) podaja povezavo med odvodom, nedoločenim integralom in določenim integralom.

Prvi delni dokaz tega izreka je objavil James Gregory (1638-1675), dopolnjeno različico dokaza pa je sestavil Isaac Barrow (1630-1677). Širšo teorijo infinitezimalnega računa sta sestavila istočasno in neodvisno drug od drugega Isaac Newton (1643–1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Intuitivno ozadje[uredi | uredi kodo]

Eden od glavnih problemov integralskega računa je seštevanje infinitezimalno majhnih količin.

Za zgled si poglejmo preprost fizikalni problem: telo, ki se neenakomerno giblje. V infinitezimalno majhnem času dt opravi infinitezimalno majhno pot ds. Razmerje med ds in dt je fizikalno gledano enako hitrosti v določenem trenutku:

 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v(t) \!\, .

Matematično gledano pa je to odvod poti s kot funkcije časa (zapis ds/dt je Leibnizov način za zapis odvoda funkcije s po spremenljivki t). Če enačbo preuredimo, dobimo:

 \mathrm{d}s=v(t)\,\mathrm{d}t \!\, .

Zdaj se vprašajmo, kolikšna je celotna pot, ki jo opravi telo. Celotna pot s je seštevek vseh delnih poti ds. Ta seštevek označimo z integralskim znakom, ki izhaja iz velike črke S (S kot suma, seštevek). Če seštevamo delne poti ds seveda dobimo isto, kot če seštevamo ustrezne izraze v(t) dt:

 s=\int \mathrm{d}s = \int v(t)\,\mathrm{d}t \!\, .

To pomeni, da je rezultat integrala funkcija s, katere odvod je funkcija v(t).

Matematična formulacija[uredi | uredi kodo]

Osnovni izrek infinitezimalnega računa po navadi formuliramo v dveh korakih

Prvi korak[uredi | uredi kodo]

Naj bo realna funkcija f na intervalu [a,b] zvezna. Definirajmo novo funkcijo F s formulo:

 F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \!\, .

Izkaže se, da je funkcija F na [a,b] odvedljiva in njen odvod je enak funkciji f:

 F'(x) = f(x)\!\, .

Torej: če določeni integral \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t odvajamo glede na zgornjo mejo, dobimo kot rezultat f. To pomeni, da sta odvod in integral med seboj nasprotni operaciji.

Drugi korak[uredi | uredi kodo]

Naj bo realna funkcija f na intervalu [a,b] zvezna. Z nedoločenim integralom dobimo primitivno funkcijo in jo označimo F:

 F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x\!\, , oziroma F'(x)=f(x)\!\, .

Potem za določeni integral velja:

 \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \!\, .

To zvezo imenujemo Newton-Leibnizova formula.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Zgled

Recimo, da želimo izračunati ploščino lika, ki ga omejujeta abscisna os in graf funkcije f(x) = sin x med dvema zaporednima ničlama (glej sliko).

Ploščina je enaka določenemu integralu funkcije f(x) = sin x na intervalu [0,π]. Določeni integral izračunamo tako, da najprej s pomočjo nedoločenega integrala izračunamo primitivno funkcijo F(x) = −cos x + C in potem uporabimo Newton-Leibnizovo formulo F(b) − F(a) (pri tem se člen C uniči, zato ga po navadi sploh ne zapišemo):

 p=\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x=\left.-\cos x\right|_0^\pi=-\cos\pi-(-\cos 0)=2 \!\, .

Torej je ploščina osenčenega lika enaka 2.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]