Integral

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Integral f(x) od a do b je površina področja med abscisno (x) osjo in krivuljo y = f(x), ki leži nad abscisno osjo, z odšteto površino področja med abscisno osjo in krivuljo, ki leži pod abscisno osjo, za vse x-e na intervalu [a,b].

Integrál je osnova tako imenovane »višje matematike«, natančneje matematične analize in infinitezimalnega računa.

Temelje integralskega računa sta postavila Isaac Newton in Gottfried Wilhelm Leibniz v poznem 17. stoletju. Integral funkcije je prek osnovnega izreka infinitezimalnega računa povezan z njenim odvodom, določen integral funkcije na nekem intervalu pa je, ko poznamo nedoločenega, moč enostavno izračunati. Integral in odvod sta postala osnovni orodji infinitezimalnega računa, izjemno uporabnega v znanosti in tehniki.

Nedoločeni in določeni integral[uredi | uredi kodo]

Beseda integral zajema dva precej različna pojma:

  • Nedoločeni integral dane funkcije f je funkcija F, katere odvod je enak dani funkciji f. V tem smislu je integriranje obratna operacija kot odvajanje. Rezultat nedoločenega integrala imenujemo primitivna funkcija.

Določeni in nedoločeni integral povezuje osnovni izrek infinitezimalnega računa, ki se imenuje tudi Newton-Leibnizova formula: Ploščino omenjenga lika izračunamo tako, da najprej z nedoločenim integralom izračunamo primitivno funkcijo F, potem pa vanjo vstavimo meji intervala: p = F(b) − F(a).

Osnovni izrek infinitezimalnega računa[uredi | uredi kodo]

Osnovni izrek infinitezimalnega računa pravi, da sta si odvajanje in (nedoločeno) integriranje inverzni operaciji: če neko zvezno funkcijo integriramo in nato odvajamo, spet dobimo začetno funkcijo. Pomembna posledica, včasih imenovana drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa, omogoča izračun določenega integrala funkcije s pomočjo njenih nedoločenih integralov.

Izreki[uredi | uredi kodo]

  • Osnovni izrek infinitezimalnega računa. Naj bo f realna integrabilna funkcija, definirana na zaprtem intervalu [a, b]. Če je F definirana za x na intervalu [a, b] s predpisom
 F(x) = \int_a^x f(t)\, \mathrm{d} t.
je F zvezna na intervalu [a, b]. Če je f zvezna v točki x na intervalu [a, b], je F odvedljiva v točki x, in F ′(x) = f(x).
  • Drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa. Naj bo f realna integrabilna funkcija, definirana na zaprtem intervalu [a, b]. Če je F takšna funkcija, da F ′(x) = f(x) za vsak x na intervalu [a, b] (torej, F je nedoločeni integral funkcije f), potem
 \int_a^b f(t)\, \mathrm{d} t = F(b) - F(a).
  • Opomba. Če je f zvezna funkcija na intervalu [a, b], je f odvedljiva na intervalu [a, b], in F, definirana z
 F(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t
je nedoločeni integral funkcije f na [a, b]. Nadalje
 \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t = F(b) - F(a).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]