Hessova matrika

Hessova matrika (oznaka $H \,$) (tudi hesian) je kvadratna matrika, ki jo sestavljajo drugi parcialni odvodi neke funkcije.

Imenuje se po nemškem matematiku Ludwigu Ottu Hesseju (1811 – 1874), ki jo je raziskoval v 19. stoletju. Pozneje so jo poimenovali po njem.

Definicija

Za realno funkcijo

$f(x_1, x_2, \dots, x_n) \,$

za katero obstojajo parcialni odvodi je Hessova matrika enaka

$H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)\,$

kjer je

• $x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \,$
• $D_i \,$ operator odvajanja

Hessova matrika je tako

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} \,$

Značilnosti

Jacobijeva matrika gradienta funkcije $f \,$ je enaka Hessovi matriki, kar lahko napišemo kot $H(x) = J(\nabla f) \,$.

V Hessovi matriki mešani odvodi funkcije $f \,$ ležijo zunaj glavne diagonale. Ker pa zaporedje odvajanja ni pomembno, lahko zapišemo tudi

$\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) = \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right).$

oziroma

$f_{yx} = f_{xy}. \,$.

To pomeni, da je v primerih, ko je $f \,$ zvezna v okolici točke $D \,$ Hessova matrika simetrična.

Če je gradient funkcije $f \,$ v neki točki $x \,$ enak 0, potem tej točki pravimo kritična ali stacionarna točka. Determinanta Hessove matrike se v tem primeru imenuje diskriminanta.

Omejena Hessova matrika

Omejena Hessova matrika se uporablja v nekaterih optimizacijskih problemih. Naj bo dana funkcija

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),$,

dodamo ji omejitveno funkcijo

$g(x_1, x_2, \dots, x_n) = c,$.

V tem primeru dobimo za Hessovo matriko

$H(f,g) = \begin{bmatrix} 0 & \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial g}{\partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial g}{\partial x_n} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Hessova matrika na MathWorld (v angleščini)
• Hessova matrika na PlanetMath (v angleščini)
• Hessova matrika (v angleščini)