Hessova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Hessova matrika (oznaka  H \,) (tudi hesian) je kvadratna matrika, ki jo sestavljajo drugi parcialni odvodi neke funkcije.

Imenuje se po nemškem matematiku Ludwigu Ottu Hesseju (1811 – 1874), ki jo je raziskoval v 19. stoletju. Pozneje so jo poimenovali po njem.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Za realno funkcijo

 f(x_1, x_2, \dots, x_n) \,

za katero obstojajo parcialni odvodi je Hessova matrika enaka

H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)\,

kjer je

Hessova matrika je tako

H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix} \,

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Jacobijeva matrika gradienta funkcije  f \, je enaka Hessovi matriki, kar lahko napišemo kot  H(x) = J(\nabla f) \,.

V Hessovi matriki mešani odvodi funkcije  f \, ležijo zunaj glavne diagonale. Ker pa zaporedje odvajanja ni pomembno, lahko zapišemo tudi

\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right).

oziroma

f_{yx} = f_{xy}. \,.

To pomeni, da je v primerih, ko je  f \, zvezna v okolici točke  D \, Hessova matrika simetrična.

Če je gradient funkcije  f \, v neki točki  x \, enak 0, potem tej točki pravimo kritična ali stacionarna točka. Determinanta Hessove matrike se v tem primeru imenuje diskriminanta.

Omejena Hessova matrika[uredi | uredi kodo]

Omejena Hessova matrika se uporablja v nekaterih optimizacijskih problemih. Naj bo dana funkcija

f(x_1, x_2, \dots, x_n),,

dodamo ji omejitveno funkcijo

g(x_1, x_2, \dots, x_n) = c,.

V tem primeru dobimo za Hessovo matriko

H(f,g) = \begin{bmatrix}
0 & \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial g}{\partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
\frac{\partial g}{\partial x_n} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]