Gradient

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Gradiênt je diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem, ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient označujemo z oznako »grad« ali simbolom \nabla (nabla).

Gradient skalarnega polja[uredi | uredi kodo]

Kartezični koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

V trorazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu zapišemo gradient kot:

\nabla f = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix}

Pri tem je f(r) skalarno polje, odvisno od krajevnega vektorja r = (x, y, z), oznake \partial pa označujejo parcialne odvode po vsaki od koordinat.

Splošen krivočrtni koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

Cilindrični koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

V cilindričnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:

\nabla f = 
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r +
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi +
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e}_z

Pri tem je r=(r, φ, z) krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, er, eφ in ez pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Sferni koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

V sfernem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:

\nabla f = 
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r +
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta +
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi

Pri tem je r=(r, θ, φ) krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, er, eθ in eφ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Gradient vektorskega polja[uredi | uredi kodo]

Literatura[uredi | uredi kodo]

  • Ivan Kuščer, Alojz Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana 1994, str. 56-62.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]