Gradient

Gradiênt je diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem, ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient označujemo z oznako »grad« ali simbolom $\nabla$ (nabla).

Gradient skalarnega polja

Kartezični koordinatni sistem

V trorazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu zapišemo gradient kot:

$\nabla f = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$

Pri tem je f(r) skalarno polje, odvisno od krajevnega vektorja r = (x, y, z), oznake $\partial$ pa označujejo parcialne odvode po vsaki od koordinat.

Cilindrični koordinatni sistem

V cilindričnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Pri tem je r=(r, φ, z) krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, e_r, e_φ in e_z pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Sferni koordinatni sistem

V sfernem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi$

Pri tem je r=(r, θ, φ) krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, e_r, e_θ in e_φ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Literatura

• Ivan Kuščer, Alojz Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana 1994, str. 56-62.

Glej tudi

• vektorska analiza
• divergenca, rotor