Taylorjeva vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Funkcija sin(x) in Taylorjevi približki, polinomi stopnje 1, 3, 5, 7, 9, 11 in 13.

Taylorjeva vŕsta [téjlorjeva ~] v matematiki neskončno mnogokrat odvedljive realne (ali kompleksne) funkcije f določena na odprtem intervalu (a-r, a+r) je potenčna vrsta:

 \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} \!\, ,

kjer je n! fakulteta n in f (n)(a) n-ti odvod f v točki a.

Če ta vrsta konvergira za vsak x v intervalu (a-r, a+r) in je vsota enaka f(x), se funkcija f(x) imenuje analitična. Da ugotovimo ali vrsta konvergira k f(x), po navadi vzamemo ocene člena ostanka Taylorjevega izreka. Funkcija je analitična če in samo če jo lahko predstavimo kot potenčno vrsto. Koeficienti v takšni potenčni vrsti so potem nujno tisti iz zgornje enačbe Taylorjeve vrste.

Če je a = 0, se vrsta imenuje tudi Maclaurinova vrsta.

Pomembnost prikaza takšne potenčne vrste je trojna. Potenčno vrsto lahko prvič odvajamo in integriramo po členih, kar je še posebej lahko. Analitično funkcijo lahko drugič izključno nadaljujemo na holomorfno funkcijo, določeno na odprtem disku v kompleksni ravnini, kjer pridobimo celotne postopke kompleksne analize. In tretjič (odrezano) vrsto lahko uporabimo pri izračunu približnih vrednosti funkcije.

Funkcija e-1/x² ni analitična, Taylorjeva vrsta je 0, čeprav funkcija ni.

Obstajajo primeri neskončno mnogokrat odvedljivih funkcij f(x), katerih Taylorjeve vrste konvergirajo, vendar niso enake f(x). Na primer vsi odvodi f(x) = exp(-1/x²) so v x = 0 enaki nič, tako, da je Taylorjeva vrsta f(x) enaka nič in njen polmer konvergence je neskončen, četudi funkcija prav gotovo ni enaka nič. V kompleksnem funkcija ni odvedljiva, niti omejena ne.

Nekaterih funkcij ne moremo zapisati s Taylorjevimi vrstami, ker vsebujejo singularnost. V takšnih primerih jo lahko še vedno razvijemo v vrsto, če dovolimo tudi negativne potence spremenljivke x (glej Laurentova vrsta). Na primer funkcijo f(x) = exp(-1/x²) lahko zapišemo kot Laurentovo vrsto.

Parker-Sockackijev izrek je nedaven napredek pri iskanju Taylorjevih vrst, ki so rešitve diferencialnih enačb. Ta izrek je razširitev Picardove iteracije.

Seznam Taylorjevih vrst[uredi | uredi kodo]

Naštetih je nekaj pomembnih Taylorjevih vrst. Vsi razvoji veljajo tudi za kompleksne argumente x.

Eksponentna funkcija in naravni logaritem:

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ za vse } x \!\,
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\,

Geometrična vrsta:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\,

Binomski izrek:

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{ za vse } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ in vse kompleksne } \alpha \!\,

Trigonometrične funkcije:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ za vse } x \!\,
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za vse } x \!\,
\textrm{tg}\; x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \!\,
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \!\,
\textrm{arc}\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\,
\textrm{arc}\;\textrm{tg}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\,

Hiperbolične funkcije:

\textrm{sh}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ za vse } x \!\,
 \textrm{ch}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za vse } x \!\,
\textrm{th}\; x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \!\,
\textrm{sh}^{-1}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\,
\textrm{th}^{-1}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\,

Lambertova funkcija W:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{1}{e} \!\,

Števila Bk v razvoju tg(x) in th(x) so Bernoullijeva števila. C(α,n) v binomskem razvoju so binomski koeficienti. Ek v razvoju sec(x) so Eulerjeva števila.