Bellova vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Bellova vrsta je v matematiki formalna potenčna vrsta, s katero se proučujejo značilnosti aritmetičnih funkcij. Vrste je uvedel, proučeval in razvil Eric Temple Bell.

Za dano aritmetično funkcijo f in praštevilo p, je formalna potenčna vrsta f_p(x), imenovana Bellova vrsta f modulo p, določena kot:

 f_{p}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} f(p^{n})x^{n} \!\, .

Multiplikativni funkciji sta enaki, če so enake vse njune Bellove vrste. To dejstvo se včasih imenuje izrek edinstvenosti. Za dani multiplikativni funkciji f in g, velja f=g, če in samo če:

 f_{p}(x)=g_{p}(x) \!\, za vsa praštevila p.

Dve vrsti lahko množimo (izrek o množenju): za poljubni dve aritmetični funkciji f in g na je h=f*g njuna Dirichletova konvolucija. Za vsako praštevilo p potem velja:

 h_{p}(x)=f_{p}(x) g_{p}(x) \!\, .

V posebnem primeru je preprosto najti Bellovo vrsti za Dirichletov inverz.

Če je f popolnoma multiplikativna (multiplikativna za vsa pozitivna cela števila, ne le za tuja), velja:

 f_{p}(x)=\frac{1}{1-f(p)x} \!\, .

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Nekaj Bellovih vrst za znane aritmetične funkcije:

Viri[uredi | uredi kodo]