Bellova vrsta

Bellova vrsta je v matematiki formalna potenčna vrsta, s katero se proučujejo značilnosti aritmetičnih funkcij. Vrste je uvedel, proučeval in razvil Eric Temple Bell.

Za dano aritmetično funkcijo $f$ in praštevilo $p$, je formalna potenčna vrsta $f_p(x)$, imenovana Bellova vrsta $f$ modulo $p$, določena kot:

$f_{p}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} f(p^{n})x^{n} \!\, .$

Multiplikativni funkciji sta enaki, če so enake vse njune Bellove vrste. To dejstvo se včasih imenuje izrek edinstvenosti. Za dani multiplikativni funkciji $f$ in $g$, velja $f=g$, če in samo če:

$f_{p}(x)=g_{p}(x) \!\,$ za vsa praštevila $p$.

Dve vrsti lahko množimo (izrek o množenju): za poljubni dve aritmetični funkciji $f$ in $g$ na je $h=f*g$ njuna Dirichletova konvolucija. Za vsako praštevilo $p$ potem velja:

$h_{p}(x)=f_{p}(x) g_{p}(x) \!\, .$

V posebnem primeru je preprosto najti Bellovo vrsti za Dirichletov inverz.

Če je $f$ popolnoma multiplikativna (multiplikativna za vsa pozitivna cela števila, ne le za tuja), velja:

$f_{p}(x)=\frac{1}{1-f(p)x} \!\, .$

Zgledi

Nekaj Bellovih vrst za znane aritmetične funkcije:

• Möbiusova funkcija $\mu$ - $\mu_{p}(x)=1-x \!\, .$
• Eulerjeva funkcija $\phi$ - $\phi_{p}(x)=\frac{1-x}{1-px} \!\, .$
• multiplikativna enakost Dirichletove konvolucije $\delta \,$ - $\delta_{p}(x)=1\!\, .$
• Liouvillova funkcija $\lambda$ - $\lambda_{p}(x)=\frac{1}{1+x}.$
• potenčna funkcija Id_k - $(\textrm{Id}_{k})_{p}(x)=\frac{1}{1-p^kx}.$ Tukaj je Id_k popolnoma multiplikativna funkcija $\operatorname{Id}_{k}(n)=n^{k}$.
• funkcija števila deliteljev $\sigma_{k}$ - $(\sigma_{k})_{p}(x)=\frac{1}{1-\sigma_{k}(p)x+p^{k} x^{2}}.$

Viri

• Apostol, Tom Mike (2010). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-2805-4. COBISS 18018312.