Eulerjevo število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za število e, ki se lahko tudi imenuje Eulerjevo število, glej članek: e (matematična konstanta)

Eulerjeva števíla [òjlerjeva ~] so v matematiki členi zaporedja En celih števil, razvitega s Taylorjevo vrsto:

 \frac{1}{\operatorname{ch}\,t} = \frac{2}{e^{t} + e^{-t} } = \sum_{n=0}^{\infin} E_n \frac{t^n}{n!} \!\, ,

kjer je \operatorname{ch}\,t hiperbolični kosinus, oziroma z:

 E_n = 2^n E_n \left( {1\over 2} \right) \!\, ,

kjer je E_{n}(x) Eulerjev polinom, ali z:

 1 - {1\over 3^{2i+1}} + {1\over 5^{2i+1}} - {1\over 7^{2i+1}} + \ldots \pm
     {1\over (2n-1)^{2i+1}} \pm \ldots = {\pi^{2i+1}\over 2^{2i+2} (2i)!} E_i \!\, .

Prva Eulerjeva števila so (OEIS A000364):

 E_{0} = 1 \!\, ,
 E_{1} = {}_{0}\!E_1 = 1 \!\, ,
 E_{2} = {}_{0}\!E_2 = 5 \!\, ,
 E_{3} = {}_{0}\!E_3 = 61 \!\, ,
 E_{4} = 1385 = 5 \cdot 277 \!\, ,
 E_{5} = 50521 = 19 \cdot 2659 \!\, ,
 E_{6} = 270276 = 5 \cdot 13 \cdot 43 \cdot 967 \!\, ,
 E_{7} = 199360981 = 47 \cdot 4241723 \!\, ,
 E_{8} = 19391512145 = 5 \cdot 17 \cdot 228135437 \!\, ,
 E_{9} = 2404879675441 = 79 \cdot 349 \cdot 87224971 \!\, ,
 E_{10} = 370371188237525 = 5^2 \cdot 41737 \cdot 354957173 \!\, ,
 E_{11} = 693488743393137901 = 31 \cdot 1567103 \cdot 1427513357 \!\, ,
 E_{12} = 15514534163557086905 = 5 \cdot 13 \cdot 2137 \cdot 11169168974160 \!\, ,
 E_{13} = 4087072509293123892361 = 67 \cdot 6100108222825558048 \!\, ,
 E_{14} = 1252256941403629865468285 = 5 \cdot 19 \cdot 29 \cdot 71 \cdot 30211 \cdot 2717447 \cdot 77980901 \!\, ,
 E_{15} = 441543893249023104553682821 = 15669721 \cdot 2817815921859892110 \!\, ,
 E_{16} = 1775193915795399289436664789665 = 5 \cdot 17 \cdot 930157 \cdot 427377921 \cdot 52536026741617 \!\, ,
 E_{17} = 80723299235887898062168247453281 = 4153 \cdot 8429689 \cdot
     2305820097576334676593 \!\, ,
 \begin{align} 
 E_{18} &= 41222060339517702122347079671259045 \\
        &= 5 \cdot 13 \cdot 37 \cdot 9257 \cdot 73026287 \cdot 25355088490684770871 \!\, ,  \end{align}
 E_{19} = {}_{0}\!E_4 = 23489580527043108252017828576198947741 \!\, ,
 \begin{align}
 E_{20} &= 14851150718114980017877156781405826684425 \\
        &= 5^2 \cdot 41 \cdot 763601 \cdot 52778129 \cdot 359513962188687126618793 \!\, , \end{align}
 \begin{align}
 E_{21} &= 10364622733519612119397957304745185976310201 \\
        &= 137 \cdot 5563\cdot 13599529127564174819549339030619651971 \!\, . 
\end{align}

Nekateri avtorji štejejo tudi lihe indekse, ki so vsi enaki nič, sodi pa izmenično pozitivni ali negativni. Tukaj smo šteli samo sode in prikazali tudi tistih nekaj Eulerjevih števil, ki so praštevila 0Em.

Eulerjeva števila se pojavljajo v Eulerjevih polinomih, v razvoju Taylorjevih vrst za trigonometrično funkcijo sekans, hiperbolični sekans in v kombinatoriki.