e (matematična konstanta)

Seznam števil – Iracionalna števila γ - ζ(3) - √2 - Φ - √3 - √5 - δS - α - e - π - δ
Dvojiško	10,10110111111000010101...
Desetiško	2,71828182845904523536...
Dvanajstiško	2,8752360698219BA795A1...
Šestnajstiško	2,B7E151628AED2A6ABED2...
Verižni ulomek	$[2; 1, 2, 1, 1, \cdots]$ Verižni ulomek π je neperiodičen.

e je takšno število a, da je vrednost odvoda eksponenetne funkcije f (x) = a^x (modro) v točki x = 0 natanko enaka 1. Za primerjavo sta prikazani funkciji 2^x (pikčasto) in 4^x (prekinjeno), ki nista tangentni premici z naklonom 1 (rdeče).

Matematična konstanta e (včasih imenovana Eulerjevo število po matematiku Eulerju, ali tudi Napierova konstanta v čast matematiku Napieru, ki je odkril logaritme), je osnova naravnih logaritmov. Njena približna vrednost je

$e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 \dots \!\, .$

Poleg števila π in imaginarne enote i, je e ena najpomembnejših matematičnih konstant. Definirana je na različne načine, glej spodaj.

Opomba: poimenovanje števila e kot Eulerjevo število ne smemo zamenjevati s pojmom Eulerjevih števil kot členov zaporedja.

Definicije

1. Z limito.

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

2. Kot neskončna vsota.

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

3. e je število x > 0, določeno z integralom.

$\int_{1}^{x} \frac{dt}{t} = 1$

Lastnosti

Število e je iracionalno število in celo transcendentno število. Iracionalnost števila e je dokazal leta 1761 Johann Heinrich Lambert, opirajoč se na Eulerjevo delo. Da število e in njegov kvadrat e² nista korena nobene kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti, je dokazal leta 1844 Joseph Liouville, leta 1873 pa je Charles Hermite dokazal da je število e transcendetno. To je bil prvi dokaz transcendentnosti kakšnega števila, ne da bi ga bilo potrebno posebej konstruirati, kot na primer Liouvillovo število.

Domnevajo, da je število e normalno število.

Neskončni verižni ulomek števila e vsebuje zanimiv vzorec, ki ga zapišemo kot:

$e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots] \; .$

Zanimivosti

• Google, Inc. je za leto 2004, namesto običajnih okroglih številk, napovedal rast dohodka za 2.718.281.828 USD, kar je ravno e milijard dolarjev zaokroženo na najbližje celo število.
• Oznake različic programa Metafont za generiranje pisav za stavni sistem TeX konvergirajo proti e in so trenutno (2004) pri 2.71828. Ko bo Donald Knuth umrl, bo zadnja trenutna različica preimenovana v različico e, vsi hrošči pa bodo razglašeni za dokončne lastnosti.
• Tukaj je način kako si lahko namesto približka 2,7 enostavno zapomnite 18 mest števila e. Zapišimo število takole: 2.7 1828 1828 45 90 45 23. In sedaj mnemotehnika: 2,7 ste gotovo že poznali; dvakrat se pojavi 1828, ki je rojstna letnica naslednjih znanih ljudi: Jules Verne, Henrik Ibsen, Jean Henri Dunant in Lev Nikolajevič Tolstoj. 45 se pojavi dvakrat, vsota je 90, za povrh pa si zapomnimo še 23.

Glej tudi

• Pi
• Eulerjeva enačba

Zunanje povezave

• Wikisource - e na 10.000 mest
• Število e (zgodovina)