Logaritem

Grafi funkcij $\ln x\,$ (modra), $\log x\,$ (rdeča) in $\log_{1/2} x\,$ (vijolična)

Logaritem števil 0-10. Na x-osi so argumenti logaritmov, na y-osi so vrednosti po enačbi $y=\frac{1}{\log_{a} x} = \frac{\log a}{\log x}\,$, krivulje pa označujejo osnove a

Logarítem (starogrško λόγος: lógos - beseda + ἀριθμός: aritmós - število) oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe $a^y = x$ vrne eksponent $y$. Zapišemo jo v obliki $y = \log_a x$, kjer sta $a, x \in \R^+$. To beremo logaritem x z osnovo a. $x$ imenujemo logaritmand ali pa argument.

Algebrska definicija logaritma: $\log_a x = y \Longleftrightarrow a^y=x$

Logaritemska funkcija je definirana le za pozitivna števila, njena zaloga vrednosti pa so vsa realna števila:

$\log_a: \R^+ \longrightarrow \R \!\, .$

Zgledi:

$\log_2 8 = 3, \log_5 125 = 3, \log_2 \left (\frac{1}{16} \right ) = -4 \!\, .$

$\log_3 \sqrt {27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \!\, .$

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim zapletenejši logaritemski izraz predelamo v eksponentno enačbo. To nam omogoča lažje reševanje.

Zgleda:

$\log_2 \sqrt 2 = x \!\,$ $2^x = \sqrt 2 \!\,$ $2^x = 2^{\frac{1}{2}} \!\,$ $x = \frac{1}{2}$

$\log_x (x + 2) = 2 \!\,$ $x^2 = x + 2 \!\,$ Dobimo kvadratno enačbo. $x^2 - x - 2 = 0 \!\,$ $(x - 2) (x + 1) = 0 \!\,$ $x_1 = 2 \!\,$ $x_2 = -1 \!\,$ Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število. $R = \{ 2 \} \!\,$

Vrednosti logaritmov so pred pojavom računalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik Jurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnika Thesaurus Logarithmorum Completus.

Pravila za računanje z logaritmi

Vsota logaritmov

$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \!\, .$

Dokaz:

$\log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\,$

$xy=a^d\cdot a^e=a^{d+e} /\log_a \!\,$

$\log_a(xy)=\log_a a^{d+e}=d+e=\log_a x + \log_a y \!\,$

Razlika logaritmov

$\log_a x - \log_a y = \log_a \left (\frac{x}{y} \right ) \!\,$

Dokaz:

$\log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\,$

$\frac{x}{y}=\frac{a^d}{a^e}=a^{d-e} /\log_a \!\,$

$\log_a\frac{x}{y}=\log_a a^{d-e}=d-e=\log_a x - \log_a y \!\,$

Množenje logaritma s konstanto

$r \log_a x = \log_a x^r$; $r\in\R \!\,$

Dokaz:

$\log_a x=b \Longrightarrow a^b=x \!\,$

$x^y=(a^b)^y=a^{by} /\log_a \!\,$

$\log_a x^y=\log_a a^{by}= by=y\log_a x \!\,$

Logaritmi z različnimi osnovami

Pogosto se pojavi potreba, da znan logaritem izrazimo z drugačno logaritemsko osnovo. Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 in Eulerjevo število). Glede na to ločimo desetiške ali Briggsove logaritme ter naravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: $\log x = \log_{10} x$.

Naravne logaritme označujemo z drugo oznako: $\ln x = \log_e x$.

Med logaritmi z različnimi osnovami pretvarjamo po pravilu $\log_a x = \frac {\log_b x}{\log_b a}$. Logaritem z osnovo a smo pretvorili v izraz z logaritmi z osnovo b. Če je b = 10 ali e, lahko izračunamo iskano vrednost $\log_a x$ kar z žepnim računalnikom: $\frac {\log x}{\log a}$ (oziroma $\frac {\ln x}{\ln a}$).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. $\log_a b\cdot\log_b a =1$

Dokaz:

$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} \!\,$

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \!\,$

$\log_a b\cdot\log_b a =1 \!\,$

Glej tudi

• dvojiški logaritem
• logaritemsko računalo
• eksponentna funkcija
• Taylorjeva vrsta

Zunanje povezave

• Praktik.si: Video razlaga logaritma
• Logaritem na MathWorld (v angleščini)