Logaritem

Grafi funkcij ln(x) (modra), log₁₀x (rdeča) in log_1/2x (vijolična)

Logarítem oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe $a^y = x$ vrne eksponent $y$. Zapišemo jo v obliki $y = \log_a x$, kjer sta $a, x \in \R^+$. To beremo logaritem x z osnovo a. $x$ imenujemo logaritmand ali argument.

Algebrska definicija logaritma: $\log_a x = y \Longleftrightarrow a^y=x$

Logaritemska funkcija je definirana le za pozitivna števila, njena zaloga vrednosti pa so vsa realna števila:

$\log_a: \R^+ \longrightarrow \R$

Primeri:
$\log_2 8 = 3, \log_5 125 = 3, \log_2 \left (\frac{1}{16} \right ) = -4$.

$\log_3 \sqrt {27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$.

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim zapletenejši logaritemski izraz predelamo v eksponentno enačbo. To nam omogoča lažje reševanje.

Primera:

$\log_2 \sqrt 2 = x$ $2^x = \sqrt 2$ $2^x = 2^{\frac{1}{2}}$ $x = \frac{1}{2}$

$\log_x (x + 2) = 2$ $x^2 = x + 2$ Dobimo kvadratno enačbo. $x^2 - x - 2 = 0$ $(x - 2) (x + 1) = 0$ $x_1 = 2$ $x_2 = -1$ Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število. $R = \{ 2 \}$

Vrednosti logaritmov so pred pojavom računalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik Jurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnika Thesaurus Logarithmorum Completus.

Pravila za računanje z logaritmi

Vsota logaritmov

$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

Dokaz:

$\log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y$

$xy=a^d\cdot a^e=a^{d+e} /\log_a$

$\log_a(xy)=\log_a a^{d+e}=d+e=\log_a x + \log_a y$

Razlika logaritmov

$\log_a x - \log_a y = \log_a \left (\frac{x}{y} \right )$

Dokaz:

$\log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y$

$\frac{x}{y}=\frac{a^d}{a^e}=a^{d-e} /\log_a$

$\log_a\frac{x}{y}=\log_a a^{d-e}=d-e=\log_a x - \log_a y$

Množenje logaritma s konstanto

$r \log_a x = \log_a x^r$; $r\in\R$

Dokaz:

$\log_a x=b \Longrightarrow a^b=x$

$x^y=(a^b)^y=a^{by} /\log_a$

$\log_a x^y=\log_a a^{by}= by=y\log_a x$

Logaritmi z različnimi osnovami

Pogosto se pojavi potreba, da znan logaritem izrazimo z drugačno logaritemsko osnovo. Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 in Eulerjevo število). Glede na to ločimo desetiške ali Briggsove logaritme ter naravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: $\log x = \log_{10} x$.

Naravne logaritme označujemo z drugo oznako: $\ln x = \log_e x$.

Med logaritmi z različnimi osnovami pretvarjamo po pravilu $\log_a x = \frac {\log_b x}{\log_b a}$. Logaritem z osnovo a smo pretvorili v izraz z logaritmi z osnovo b. Če je b = 10 ali e, lahko izračunamo iskano vrednost $\log_a x$ kar z žepnim računalnikom: $\frac {\log x}{\log a}$ (oziroma $\frac {\ln x}{\ln a}$).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. $\log_a b\cdot\log_b a =1$

Dokaz:

$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a}$

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_a b\cdot\log_b a =1$

Glej tudi

• logaritemsko računalo
• eksponentna funkcija
• Taylorjeva vrsta

Zunanje povezave

• Praktik.si: Video razlaga logaritma