Logaritem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Grafi funkcij \ln x\, (modra), \log x\, (rdeča) in \log_{1/2} x\, (vijolična)
Logaritem števil 0-10. Na x-osi so argumenti logaritmov, na y-osi so vrednosti po enačbi y=\frac{1}{\log_{a} x} = \frac{\log a}{\log x}\, , krivulje pa označujejo osnove a

Logarítem (starogrško λόγος: lógos - beseda + ἀριθμός: aritmós - število[1]) oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe a^y = x vrne eksponent y. Zapišemo jo v obliki y = \log_a x, kjer sta a, x \in \R^+. To beremo logaritem x z osnovo a. x imenujemo logaritmand ali pa argument.

Algebrska definicija logaritma: \log_a x = y \Longleftrightarrow a^y=x

Logaritemska funkcija je definirana le za pozitivna števila, njena zaloga vrednosti pa so vsa realna števila:

 \log_a: \R^+ \longrightarrow \R \!\, .

Zgledi:

 \log_2 8 = 3, \log_5 125 = 3, \log_2 \left (\frac{1}{16} \right ) = -4 \!\, .
 \log_3 \sqrt {27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \!\, .

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim zapletenejši logaritemski izraz predelamo v eksponentno enačbo. To nam omogoča lažje reševanje.

Zgleda:

 \log_2 \sqrt 2  = x \!\,

 2^x = \sqrt 2 \!\,
 2^x = 2^{\frac{1}{2}} \!\,

x = \frac{1}{2}

 \log_x (x + 2)  = 2 \!\,

 x^2 = x + 2 \!\, Dobimo kvadratno enačbo.
 x^2 - x - 2 = 0 \!\,
 (x - 2) (x + 1) = 0 \!\,

 x_1 = 2 \!\,
 x_2 = -1 \!\, Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število.

 R = \{ 2 \} \!\,

Vrednosti logaritmov so pred pojavom računalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik Jurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnika Thesaurus Logarithmorum Completus.

Pravila za računanje z logaritmi[uredi | uredi kodo]

Vsota logaritmov[uredi | uredi kodo]

 \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \!\, .

Dokaz:

 \log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\,
 xy=a^d\cdot a^e=a^{d+e} /\log_a \!\,
 \log_a(xy)=\log_a a^{d+e}=d+e=\log_a x + \log_a y \!\,

Razlika logaritmov[uredi | uredi kodo]

 \log_a x - \log_a y = \log_a \left (\frac{x}{y} \right ) \!\,

Dokaz:

 \log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\,
 \frac{x}{y}=\frac{a^d}{a^e}=a^{d-e} /\log_a \!\,
 \log_a\frac{x}{y}=\log_a a^{d-e}=d-e=\log_a x - \log_a y \!\,

Množenje logaritma s konstanto[uredi | uredi kodo]

 r \log_a x = \log_a x^r; r\in\R \!\,

Dokaz:

 \log_a x=b \Longrightarrow a^b=x \!\,
 x^y=(a^b)^y=a^{by} /\log_a \!\,
 \log_a x^y=\log_a a^{by}= by=y\log_a x \!\,

Logaritmi z različnimi osnovami[uredi | uredi kodo]

Pogosto se pojavi potreba, da znan logaritem izrazimo z drugačno logaritemsko osnovo. Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 in Eulerjevo število). Glede na to ločimo desetiške ali Briggsove logaritme ter naravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: \log x = \log_{10} x.

Naravne logaritme označujemo z drugo oznako: \ln x = \log_e x.

Med logaritmi z različnimi osnovami pretvarjamo po pravilu \log_a x = \frac {\log_b x}{\log_b a}. Logaritem z osnovo a smo pretvorili v izraz z logaritmi z osnovo b. Če je b = 10 ali e, lahko izračunamo iskano vrednost \log_a x kar z žepnim računalnikom: \frac {\log x}{\log a} (oziroma \frac {\ln x}{\ln a}).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. \log_a b\cdot\log_b a =1

Dokaz:

 \log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} \!\,
 \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \!\,
 \log_a b\cdot\log_b a =1 \!\,

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ "logarithm" (v angleščini). Wikislovar. Pridobljeno dne 2013-04-09. 

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]