Sanje nezrelega

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije y=1/x^{x}\!\, in površina pod njo v intervalu [0,1]
Graf funkcije y=x^{x}\!\, in površina pod njo v intervalu [0,1]

Sánje nèzrélega je v matematiki občasni naziv za enakosti (OEIS A073009, A083648):

\begin{align}
I_{2} &= \int_0^1 x^{-x}\,dx = \sum_{n=1}^\infty n^{-n} \\
      &= 1,29128599706266354 \dots \!\, , \\
I_{1} &= \int_0^1 x^x   \,dx = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} \\
      &= 0,78343051071213440 \dots \!\, ,
\end{align}

ki ju je leta 1697 odkril Johann Bernoulli.

Dokaz[uredi | uredi kodo]

Dokažemo drugo enakost. Dokaz za prvo je popolnoma enak.

Dokaz poteka po korakih:

Razvijemo xx kot:

x^x = e^{x \ln x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\ln x)^n}{n!} \!\ .

Vrsto členoma integriramo:

\int_0^1 x^xdx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n(\ln x)^n}{n!}dx \!\, .

Izračunamo člene z integracijo po delih. Najprej integriramo člen \int x^m (\ln x)^n\; dx z uvedbo spremenljivke u=(\ln x)^n, kjer je dv = x^m\; dx. Tako sledi:

\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m+1} \frac{(\ln x)^{n-1}}{x} dx, \qquad m\in \Z_{0} \setminus -1 \!\,

in naprej:

 \int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(m+1)^i} (\ln x)^{n-i} \!\, ,

kjer je (n)_i Pochhammerjev simbol za padajočo fakulteto.

V tem primeru je m=n in obe števili sta celi, tako da je:

\int x^n (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(n+1)^i} (\ln x)^{n-i} \!\, .

Z integracijo od 0 do 1, izginejo vsi členi razen zadnjega pri 1 (vsi členi so v 0 enaki nič, ker je \lim_{x \to 0^+} x^m (\ln x)^n = 0 po l'Hôpitalovem pravilu, in vsi členi razen zadnjega so v 1 enaki nič, ker je \ln(1) = 0), tako da sledi:

\int_0^1 \frac{x^n (\ln x)^n}{n!}\; dx = \sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}
 (-1)^n \frac{(n)_n}{(n+1)^n} = \sum_{i=0}^n (-1)^n (n+1)^{-(n+1)} \!\, .

Enačba sledi, če dvignemo indeks na n=1.

Verižna ulomka[uredi | uredi kodo]

Neskončna verižna ulomka za številske vrednosti enakosti sta (OEIS A077178, A137420):

 I_{2} = [1;3,2,3,4,3,1,2,1,1,6,7,2,5,3,1,2,\ldots] = \left\{ 1, \frac{4}{3}, \frac{9}{7}, \frac{31}{24}, \frac{133}{103}, \frac{430}{333}, \frac{563}{436}, \frac{1556}{1205}, \ldots \right\} \!\, ,
 I_{1} = [0;1,3,1,1,1,1,1,1,2,4,7,2,1,2,1,1,\ldots] = \left\{ 0, 1, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{7}{9}, \frac{11}{14}, \frac{18}{23}, \frac{29}{37}, \frac{47}{60}, \frac{123}{157}, \ldots \right\} \!\, .

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]