Sanje nezrelega

Graf funkcije $y=1/x^{x}\!\,$ in površina pod njo v intervalu [0,1]

Graf funkcije $y=x^{x}\!\,$ in površina pod njo v intervalu [0,1]

Sánje nèzrélega je v matematiki občasni naziv za enakosti (OEIS A073009, A083648):

$\begin{align} I_{2} &= \int_0^1 x^{-x}\,dx = \sum_{n=1}^\infty n^{-n} \\ &= 1,29128599706266354 \dots \!\, , \\ I_{1} &= \int_0^1 x^x \,dx = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} \\ &= 0,78343051071213440 \dots \!\, , \end{align}$

ki ju je leta 1697 odkril Johann Bernoulli.

Dokaz

Dokažemo drugo enakost. Dokaz za prvo je popolnoma enak.

Dokaz poteka po korakih:

• zapišemo x^x = exp(x ln x),
• razvijemo exp(x ln x) s potenčno vrsto za exp,
• členoma integriramo,
• integriramo per partes.

Razvijemo x^x kot:

$x^x = e^{x \ln x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\ln x)^n}{n!} \!\ .$

Vrsto členoma integriramo:

$\int_0^1 x^xdx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n(\ln x)^n}{n!}dx \!\, .$

Izračunamo člene z integracijo po delih. Najprej integriramo člen $\int x^m (\ln x)^n\; dx$ z uvedbo spremenljivke $u=(\ln x)^n$, kjer je $dv = x^m\; dx$. Tako sledi:

$\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m+1} \frac{(\ln x)^{n-1}}{x} dx, \qquad m\in \Z_{0} \setminus -1 \!\,$

in naprej:

$\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(m+1)^i} (\ln x)^{n-i} \!\, ,$

kjer je $(n)_i$ Pochhammerjev simbol za padajočo fakulteto.

V tem primeru je m=n in obe števili sta celi, tako da je:

$\int x^n (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(n+1)^i} (\ln x)^{n-i} \!\, .$

Z integracijo od 0 do 1, izginejo vsi členi razen zadnjega pri 1 (vsi členi so v 0 enaki nič, ker je $\lim_{x \to 0^+} x^m (\ln x)^n = 0$ po l'Hôpitalovem pravilu, in vsi členi razen zadnjega so v 1 enaki nič, ker je $\ln(1) = 0$), tako da sledi:

$\int_0^1 \frac{x^n (\ln x)^n}{n!}\; dx = \sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1} (-1)^n \frac{(n)_n}{(n+1)^n} = \sum_{i=0}^n (-1)^n (n+1)^{-(n+1)} \!\, .$

Enačba sledi, če dvignemo indeks na $n=1$.

Verižna ulomka

Neskončna verižna ulomka za številske vrednosti enakosti sta (OEIS A077178, A137420):

$I_{2} = [1;3,2,3,4,3,1,2,1,1,6,7,2,5,3,1,2,\ldots] = \left\{ 1, \frac{4}{3}, \frac{9}{7}, \frac{31}{24}, \frac{133}{103}, \frac{430}{333}, \frac{563}{436}, \frac{1556}{1205}, \ldots \right\} \!\, ,$

$I_{1} = [0;1,3,1,1,1,1,1,1,2,4,7,2,1,2,1,1,\ldots] = \left\{ 0, 1, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{7}{9}, \frac{11}{14}, \frac{18}{23}, \frac{29}{37}, \frac{47}{60}, \frac{123}{157}, \ldots \right\} \!\, .$

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. Sophomore's Dream. na mathworld.wolfram.com (v angleščini)