Eulerjeva enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Gibanje točke na Gaussovi ravnini. Točka se giblje od točke z=1, s hitrostjo iz v časovnem razmiku π. Po gibanju na razdalji 1 prispe v izhodišče 0

Eulerjeva enáčba (tudi Eulerjeva identitéta ali Eulerjev obrazec) [òjlerjeva ~] povezuje pet za matematiko zelo pomembnih števil 0, 1, π, i in e

 e^{i \pi} + 1 = 0 \!\, .

Enačbo je zapisal Leonhard Euler.

Splošna oblika Eulerjeve enačbe je:

 e^{iy} = \cos y + i \sin y \!\, .

Ta enačba je del enačbe:

 e^{z} = e^{x + iy} = e^{x}e^{iy} \!\, ,

kjer je z kompleksno število (x + iy).

Eulerjeva enačba kaže na matematično lepoto. Tri osnovne dvočlene aritmetične operacije se pojavijo natanko enkrat: seštevanje, množenje in potenciranje.

Izpeljava[uredi | uredi kodo]

Eulerjeva enačba je posebni primer Eulerjeve formule iz kompleksne analize:

 e^{ix} = \cos x + i \sin x \!\,

za poljubni realni x. Argumenta za trigonometrični funkciji sinus in kosinus morata biti v radianih. Če je:

 x = \pi \!\, ,

potem velja posebej:

 e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi \!\, .

Ker je:

 \cos \pi = -1 \!\, ,
 \sin \pi = 0 \!\, ,

sledi:

 e^{i\pi} = -1 \!\, .

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

Eulerjeva enačba je poseben primer splošnejše enačbe, da je vsota vseh n-tih korenov enote, pri n > 1, enaka 0:

 \sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 \!\, .

Eulerjevo enačbo dobimo z n = 2.