Euler-Mascheronijeva konstanta

Seznam števil – Iracionalna števila γ - ζ(3) - √2 - Φ - √3 - √5 - δS - α - e - π - δ
Dvojiško	0,1001001111000100011...
Desetiško	0,5772156649015328606...
Dvanajstiško	0,6B15188A6760B389884...
Šestnajstiško	0,93C467E37DB0C7A4D1B...
Verižni ulomek	$[0; 1, 1, 2, 1, \cdots]$ Verižni ulomek γ ima vsaj 470.000 členov..

Euler-Mascheronijeva konstánta [ôjler-mašerónijeva ~] je matematična konstanta, ki se največ uporablja v analizi in teoriji števil. Po navadi je označena z majhno grško črko γ (gama). Določena je kot limita razlike med harmonično vrsto in naravnim logaritmom:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln n \right] = \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor} - \frac{1}{x}\right)\,dx \!\, .$

Konstanta je podana tudi z integralom:

$\gamma = - \int_0^\infty { \ln x \over e^x } \, dx \!\, .$

Njena vrednost je približno (OEIS A001620)

γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

Od 3. januarja 2008 je znanih 131,151,000 števk.

Zgodovina

Konstanto je prvi uvedel Leonhard Euler leta 1734 z zgornjo limito in izračunal prvih pet števk z vrednostjo γ = 0,577218. Konstanto je označil s C in O ter izračunal še prvih 16 števk leta 1781. Konstanta se je pojavila leta 1735 v njegovem članku De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Zaradi tega se včasih imenuje tudi Eulerjeva konstanta.

Geometer Lorenzo Mascheroni (1750-1800), ki je izračunal 32 števk, 19 pa je bilo pravilnih, je leta 1790 za konstanto uporabljal črko A. Znak γ se drugače ne pojavlja nikjer v Eulerjevem ali Mascheronijevem delu, in so ga izbrali kasneje zaradi povezave konstante s funkcijo Γ.

Uporaba

Euler-Mascheronijeva konstanta se med drugim pojavlja v

• izrazih za eksponentni integral:

$\operatorname{Ei}\,(x) = \gamma+\ln x+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k\; k!} \,; \quad (x>0) \!\,$

$E_{1}(z) =-\gamma-\ln z+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} z^{k}}{k\; k!} \, ; \quad (\Re(z)>0) \!\,$

• Laplaceovi transformaciji za naravni logaritem:

$- \frac{t_{0}}{s} \Big[ \ln(t_{0} s) + \gamma \Big] \, ; \quad (\Re(s) > 0) \!\,$

• prvem členu razvoja Riemannove funkcije ζ s Taylorjevo vrsto, kjer je prva od Stieltjesovih konstant $\gamma_{0}$:

$\gamma = 1 - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \Big[ \zeta(n) - 1 \Big] \!\,$

• enačbi za produkt funkcije Γ:

$\gamma = - \Gamma'(1) \!\,$

• računih funkcije digama ψ₀(x):

$\gamma = \psi_{0} (1) \!\,$

• neenakosti za Eulerjevo funkcijo φ:

$\varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}}; \quad (n > 2) \!\,$

• stopnji rasti števila deliteljev:

$\sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}) \, ; \quad (x\geq1) \!\,$

• računu Meissel-mertensove konstante
• tretjem Mertensovem izreku:

$\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p\in \mathbb{P} \atop p<n}\left(1-\frac1p\right) = \frac{1}{e^{\gamma}} \!\,$

• v asimptotičnem približku rešitve Besslove funkcije druge vrste

$Y_{\nu}(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{\pi} \Big[ \ln (x/2) + \gamma \Big] \, ; & \nu=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^{\nu} \, ; & \nu > 0 \end{matrix} \right. \!\,$

Značilnosti

Ni znano ali je konstanta γ algebrsko ali transcendentno število. Ni znano niti ali je iracionalno število ali ne. Raziskave verižnih ulomkov kažejo, da če je γ racionalno število a/b, ima njen imenovalec b vsaj 242.080 števk. Hardy je menda ponudil svoj odstop od stolice na Univerzi v Oxfordu vsakomur, ki bi dokazal ali je γ iracionalna, čeprav ni o tem nobenega pisnega vira. Conway in Guy sta pripravljena staviti, da je transcendentno število, čeprav v svojih življenjih ne pričakujeta dokaza. Ker je γ prisotna na mnogih področjih, predstavlja njena iracionalnost enega od glavnih nerešenih problemov v matematiki.

Viri

• Grasselli, Jože (2008). Enciklopedija števil. Ljubljana: DMFA - založništvo. ISBN 978-961-212-209-6. COBISS 243138304. 

• Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9. 

• Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomska naloga, Univerza v Göttingenu.

• Sondow, Jonathan (2003) "An infinite product for e^γ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ."

Zunanje povezave

• Euler-Mascheronijeva konstanta (v angleščini)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Eulerjeva konstanta: γ (The Euler Constant: γ) (v angleščini)