Pi

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za grško črko Π π glej: Pi (črka)
Mala črka π, ki se uporablja za konstanto
Seznam številIracionalna števila
γ - ζ(3) - √2 - Φ - √3 - √5 - δS - α - e - π - δ
Dvojiško 11,00100100001111110110...
Desetiško 3,14159265358979323846...
Dvanajstiško 3,184809493B91864...
Šestnajstiško 3,243F6A8885A308D31319...
Verižni ulomek  [3; 7, 15, 1, 292, \cdots]
Verižni ulomek π je neperiodičen.
Pri premeru 1 je obseg kroga enak π

Število pi (označeno z malo grško črko π) je matematična konstanta, ki se pojavlja na mnogih področjih matematike, fizike in drugod. Imenujemo jo tudi Arhimedova konstanta, Ludolfovo število ali krožna konstanta in je enaka razmerju med obsegom kroga in njegovim premerom. π lahko določimo tudi kot ploščino kroga s polmerom 1.
Opombe: V neevklidski geometriji, geometriji na neravni površini, se razmerja dimenzij kroga določajo drugače. Na krogli je razmerje med obsegom in polmerom kroga manjše od π, na sedlu pa večje. Sicer je π tudi najmanjše pozitivno število x, za katerega je sin x = 0 (x v radianih).

Število π je iracionalno, ker se ga ne da točno zapisati kot razmerje dveh naravnih števil. Svetopisemski približek za π je π=3, iz davnine pa sta znana še približka: π = 22/7 in π = 355/113.

Vrednost π točna na prvih štiriinšestdeset števk je (OEIS A000796):

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Število π je iracionalno število, kar pomeni, da ga ne moremo zapisati kot razmerje dveh celih števil. To značilnost je dokazal leta 1761 Lambert. V bistvu je število transcendentno, kar je dokazal leta 1882 Lindemann. To pomeni, da ne obstaja polinom s celimi (ali racionalnimi) koeficienti, katerega koren je π. Zaradi tega ne moremo izraziti π samo s končnim številom celih števil, ulomkov ali njihovih korenov. Ta značilnost π reši znameniti starogrški problem kvadrature kroga: samo z uporabo ravnila in šestila je nemogoče konstruirati kvadrat, katerega ploščina je enaka ploščini danega kroga. Saj so koordinate vseh točk, ki jih lahko skonstruiramo samo z ravnilom in šestilom posebna algebrska števila.

Enačbe, ki vsebujejo π[uredi | uredi kodo]

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Obseg kroga s polmerom r: O = 2 π r
Obseg kroga s premerom d: O = d π
Površina kroga s polmerom r: S = π r2
Površina elipse z glavnima osema a in b: S = π ab
Prostornina krogle s polmerom r: V = (4/3) π r3
Površina krogle s polmerom r: S = 4 π r2
Koti: 180 stopinj ustreza π radianom

Analiza[uredi | uredi kodo]

1/1 - 1/3 + 1/5 -1/7 +1/9 - ... = π/4 (Leibnizeva enačba)
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (Wallisov produkt (1655))
 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
 n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Stirlingova enačba)
 e^{\pi i} + 1 = 0\; (Eulerjeva enakost, imenovana tudi »najpomembnejša enačba na svetu«)

Verižni ulomki[uredi | uredi kodo]

π lahko lepo izrazimo s posplošenim verižnim ulomkom:

 \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^{2}}{3 + \frac{2^{2}}{5 + \frac{3^{2}}{7 + \frac{4^{2}}{9 + \frac{5^{2}}{11 + \frac{6^{2}}{13 + ...}}}}}} = [1;3,5,7,9,11,13, ...]

ali z ulomkom, ki ga je na podlagi Wallisovega produkta leta 1655 sestavil lord William Brouncker:

 {4\over \pi} = {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2 +
                                    {5^{2}\over 2 +
                                    {7^{2}\over 2 +
                                    {9^{2}\over 2 + 
                                    {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}} = [1;2,2,2,2,2,2, ...]

(Za drugih 11 izrazov glej [1] )

Teorija števil[uredi | uredi kodo]

Verjetnost, da sta dve naključno izbrani celi števili tuji je 6/π2.
Verjetnost, da je naključno izbrano celo število deljivo brez kvadrata je 6/π2.
Povprečno število načinov zapisa pozitivnega celega števila kot vsote dveh popolnih kvadratov, kjer je vrstni red pomemben, je π/4.

Dinamični sestavi / Ergodična teorija[uredi | uredi kodo]

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}
za skoraj vsak x0 iz [0, 1], kjer so xi ponovitve/iteracije logistične karte za r=4.

Fizika:

\Delta x \Delta p  \ge \frac{h}{4\pi} (Heisenbergovo načelo nedoločenosti)
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi \kappa \over c^4} T_{ik} (Einsteinova enačba gravitacijskega polja v splošni teoriji relativnosti)

Verjetnost in statistika[uredi | uredi kodo]

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} (Funkcija verjetnostne gostote za normalno porazdelitev.)

Zgodovina računanja vrednosti π[uredi | uredi kodo]

Glej zgodovina števila π.

Zanimivosti[uredi | uredi kodo]

Približki[uredi | uredi kodo]

Poleg najbolj pogostega približka 3,14 in malo točnejšega približka 22/7 = 3,14285714 je zelo dober približek ulomek 355/113 = 3,14159292035. Sam ulomek si zapomnimo takole: zapišimo 113355 in zadnje tri številke delimo s prvimi!

Dan pi[uredi | uredi kodo]

Ljubitelji števila pi praznujejo Dan pi, to je 14. marec (v angleškem zapisu 3.14), nekateri pa tudi 22. julij (22/7 je dober enostaven približek).

Tekmovanja v pomnjenju števila π[uredi | uredi kodo]

V zadnjem desetletju se je rekordni dosežek v pomnjenju decimalk π hitro povečeval.

Leta 2006 naj bi Akira Haraguchi, upokojeni japonski inženir, brez napake zrecitiral 100.000 decimalk.[1] Ta rekord še ni potrjen in vpisan v Guinnessovo knjigo rekordov. Guinness priznava rekord 67.890 decimalk, ki ga je dosegel Lu Chao, 24-letni podiplomski študent iz Kitajske.[2] Za recitiranje je porabil 24 ur in 4 minut.[3]

Slovensko tekmovanje v pomnjenju števila π[uredi | uredi kodo]

Slovensko praznovanje dneva pi se je začelo leta 2007. Prvi zmagovalec v deklamiranju decimalk π je bil Simon Čopar s 150 decimalkami. Zmagoval je še večkrat, leta 2011 z dosežkom 767 decimalk. V letu 2012 je naslov prvaka in slovenskega rekorderja prevzela gimnazijka Pia Kleva s 780 številkami.[4]

Mnemotehnika[uredi | uredi kodo]

Kako si zapomniti π ?

V številnih jezikih so ustvarili verze, ki s številom črk na posamezno besedo ponazarjajo števke števila π. Seveda je to pi-ezija, ne poezija[navedi vir]!

Slovenski dosežek piezije je:

Kdo o tebi z glavo razmišlja da spomni števk teh?
(3,141592653)

Za različice v drugih jezikih glej npr. Pi Mnemonics in Wordplay.

TeX[uredi | uredi kodo]

TEXove različice Knuth številči takole: 3, 3.1, 3.14, 3.141, različice Metafonta pa številči z decimalkami e. Sicer pa opozarja uporabnike njegovih programov: »Pazite se hroščev v programu, jaz sem samo dokazal, da deluje pravilno, nisem pa ga preskusil!«

Google[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Otake, Tomoko (2006-12-17). "How can anyone remember 100,000 numbers?". The Japan Times. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2012-07-14. Pridobljeno dne 2007-10-27. 
  2. ^ "Pi World Ranking List". Pridobljeno dne 2007-10-27. 
  3. ^ "Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi". News Guangdong. 2006-11-28. Pridobljeno dne 2007-10-27. 
  4. ^ Pijina piezija med matematiki in fiziki, Simona Bandur, Delo, 15.3.2012, vpogledano 2012-03-18

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]