Kvadratno iracionalno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kvadrátno iracionálno števílo (redkeje tudi kvadrátni súrd) je v matematiki algebrsko iracionalno število, ki je rešitev kakšne kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Ker lahko iz kvadratne enačbe ulomke poničimo z množenjem obeh strani z njihovima skupnima imenovalcema, lahko rečemo, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:

 kx^{2} + mx + n = 0 \!\,

s celimi koeficienti k, m in n in z od nič različno diskriminanto m^{2} - 4kn. Kvadratna iracionalna števila so oblike:

 \sqrt{c}, \qquad c > 1 \!\,

za cela števila c deljiva brez kvadrata. Vsako kvadratno iracionalno število pa lahko v splošnem zapišemo kot:

 \frac{a\pm b\sqrt{c}}{d}, \qquad a,b,c,d \in \mathbb{Z}; \, a,b > 0, c > 1, d \ne 0, d | a^{2} - c \!\, ,

kjer c ni popolni kvadrat.

To pomeni, da je moč njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega števno neskončna.

Kvadratna iracionalna števila z danim c tvorijo obseg, ki se imenuje kvadratni obseg.

Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil[uredi | uredi kodo]

Enočlene oblike[uredi | uredi kodo]

Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z verižnimi ulomki. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek periodičen. Na primer števila deljiva brez kvadrata:

 \sqrt{2} = 1,4142 \ldots = [1;2,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{3} = 1,7320 \ldots = [1;1,2,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{5} = 2,2360 \ldots = [2;4,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{6} = 2,4494 \ldots = [2;2,4,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{7} = 2,6457 \ldots = [2;1,1,1,4,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{10} = 3,1622 \ldots = [3;6,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{11} = 3,3166 \ldots = [3;3,6,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{13} = 3,6055 \ldots = [3;1,1,1,1,6,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{14} = 3,7416 \ldots = [3;1,2,1,6\ldots] \!\, ,
 \sqrt{15} = 3,8729 \ldots = [3;1,6,\ldots] \!\, .

ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila (OEIS A051144):

 \sqrt{8} = 2\sqrt{2} = 2,8284 \ldots = [2;1,4,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 3,4641 \ldots = [3;2,6,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{18} = 3\sqrt{2} = 4,2426 \ldots = [4;4,8,\ldots] \!\, ,
 \sqrt{20} = 2\sqrt{5} = 4,4721 \ldots = [4;2,8,\ldots] \!\, .

Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, palindromni niz števk:

Za ta števila tako velja:
 \sqrt{c} = [a_{0};\overline{2a_{0}}] \! \, .
  • na primer 1 za \sqrt{3}\!\,, 1,1,1 za \sqrt{7}\!\,, 1,2,1 za \sqrt{14}\!\,, ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike n^{2}+1\!\,, imajo neprazen niz (OEIS A070303):
\sqrt{3}\!\,, \sqrt{7}\!\,, \sqrt{11}\!\,, \sqrt{13}\!\,, \sqrt{19}\!\,, \sqrt{23}\!\,, \sqrt{29}\!\,, \sqrt{31}\!\,, \sqrt{41}\!\,, \sqrt{43}\!\,, \sqrt{47}\!\,, \sqrt{53}\!\,, \sqrt{59}\!\,, \sqrt{61}\!\,, \sqrt{67}\!\,, ...

V splošnem tako velja:

 \sqrt{c} = [a_{0};\overline{a_{1},a_{2},\dots,a_{2},a_{1},2a_{0}}] \! \, .

Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom (OEIS A124809):

 \sqrt{50} = 7,0710 \ldots = [7;\overline{2\cdot 7}] \!\, ,
 \sqrt{325} = 18,0277 \ldots = [18;\overline{2\cdot 18}] \!\, ,
 \sqrt{1025} = 32,0156 \ldots = [32;\overline{2\cdot 32}] \!\, ,
 \sqrt{1445} = 38,0131 \ldots = [38;\overline{2\cdot 38}] \!\, ,

itd.

Števila, katerih perioda se začne:

Dvočlene oblike[uredi | uredi kodo]

Druga kvadratna iracionalna števila, kjer c ni kvadratno število:

 (1+\sqrt{2})/2 = 1,2071 \ldots = [1;4,1,\ldots] \!\, ,
 (1+\sqrt{3})/2 = 1,3660 \ldots = [1;2,1,\ldots] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/2 = 1,6180 \ldots = [1;1,\ldots] \equiv [1;\overline{1}] \!\, (število zlatega reza),
 (1+\sqrt{2})/3 = 0,8047 \ldots = [0;1,\overline{4,8}] \!\, ,
 (1+\sqrt{3})/3 = 0,9106 \ldots = [0;1,\overline{10,5}] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/3 = 1,0786 \ldots = [1;\overline{12,1,2,2,2,1}] \!\, ,
 (1+\sqrt{2})/5 = 0,4828 \ldots = [0;2,\overline{1,4}] \!\, ,
 (1+\sqrt{3})/5 = 0,5464 \ldots = [0;1,\overline{1,4,1,7}] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/5 = 0,6472 \ldots = [0;1,\overline{1,1,1,5,22,5}] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/6 = 0,5393 \ldots = [0;1,\overline{1,5}] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/7 = 0,4622 \ldots = [0;2,\overline{6,7,1,1,1,30,1,1,1,7}] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/8 = 0,4045 \ldots = [0;2,\overline{2,8}] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/9 = 0,3595 \ldots = [0;2,\overline{1,3,1,1,3,9}] \!\, ,
 (1+\sqrt{5})/10 = 0,3236 \ldots = [0;3,\overline{11}] \!\, ,
 (2+\sqrt{5})/2 = 2,1180 \ldots = [2;\overline{8,2}] \!\, ,
 (42+\sqrt{2})/42 = 1,0336 \ldots = [1;29,\overline{1,2,3,6,3,2,1,58}] \!\, ,
 (42+\sqrt{42})/42 = 1,1543 \ldots = [1;6,\overline{2,12}] \!\, ,
 (4242+\sqrt{4242})/4242 = 1,0153 \ldots = [1;65,\overline{7,1,1,1,8,1,1,1,7,130}] \!\, ...

Če je c kvadratno število in d>1, je dano število racionalno, njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:

 (2+\sqrt{4})/5 = 4/5 = 0,8 = [0;1,4] \!\, ,
 (41+\sqrt{1764})/42 = 83/42 = 1,9\overline{761904} = [1;1,41] \!\, .

To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala Lagrange (1770) in Legendre, pred njima pa je obrat dokazal Euler z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov - če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.

Splošne oblike[uredi | uredi kodo]

 (1+2\sqrt{2})/2 = 1,9142 \ldots = [\overline{1;1,10,1}] \!\, ,
 (1+2\sqrt{3})/2 = 2,2320 \ldots = [2;\overline{4,3}] \!\, ,
 (1+2\sqrt{2})/3 = 1,2761 \ldots = [\overline{1;3,1,1,1,1}] \!\, ,
 (1+2\sqrt{3})/3 = 1,4880 \ldots = [\overline{1;2,20,2,1,1,4,1}] \!\, ,
 (1+3\sqrt{2})/2 = 2,6213 \ldots = [2;\overline{1,1,1,1,1,3}] \!\, ,
 (1+3\sqrt{3})/2 = 3,0980 \ldots = [3;\overline{10,5}] \!\, ,
 (1+3\sqrt{2})/3 = 1,7475 \ldots = [1;\overline{1,2,1,24,1,2,1,2,12,2}] \!\, ,
 (1+3\sqrt{3})/3 = 2,0653 \ldots = [2;\overline{15,3,2,1,1,30,1,1,2,3}] \!\, ,
 (1+2\sqrt{3})/4 = 1,1160 \ldots = [\overline{1;8,1,1,1,1,1,1}] \!\, ,
 (2+3\sqrt{5})/7 = 1,2440 \ldots = [\overline{1;4,10,4,1,1,2,18,2,1}] \!\, ...

Druge oblike[uredi | uredi kodo]

Poseben primer kvadratnih iracionalnih števil so rešitve Fermat-Pellove enačbe.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]