Kvadratno iracionalno število

Kvadrátno iracionálno števílo je v matematiki algebrsko iracionalno število, ki je rešitev kakšne kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Ker lahko iz kvadratne enačbe ulomke poničimo z množenjem obeh strani z njihovima skupnima imenovalcema, lahko rečemo, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:

$kx^{2} + mx + n = 0 \!\,$

s celimi koeficienti k, m in n in z od nič različno diskriminanto $m^{2} - 4kn$ . Kvadratna iracionalna števila so oblike:

$\sqrt{c}, \qquad c > 1 \!\,$

za cela števila c deljiva brez kvadrata. Vsako kvadratno iracionalno število pa lahko v splošnem zapišemo kot:

$\frac{a\pm b\sqrt{c}}{d}, \qquad a,b,c,d \in \mathbb{Z}; \, a,b > 0, c > 1, d \ne 0, d | a^{2} - c \!\, ,$

kjer c ni popolni kvadrat.

To pomeni, da je moč njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega števno neskončna.

Kvadratna iracionalna števila z danim c tvorijo obseg, ki se imenuje kvadratni obseg.

Vsebina

1 Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil
2 Glej tudi
3 Zunanje povezave

Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil [uredi]

Enočlene oblike [uredi]

Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z verižnimi ulomki. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek periodičen. Na primer števila deljiva brez kvadrata:

$\sqrt{2} = 1,4142 \ldots = [1;2,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{3} = 1,7320 \ldots = [1;1,2,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{5} = 2,2360 \ldots = [2;4,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{6} = 2,4494 \ldots = [2;2,4,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{7} = 2,6457 \ldots = [2;1,1,1,4,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{10} = 3,1622 \ldots = [3;6,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{11} = 3,3166 \ldots = [3;3,6,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{13} = 3,6055 \ldots = [3;1,1,1,1,6,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{14} = 3,7416 \ldots = [3;1,2,1,6\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{15} = 3,8729 \ldots = [3;1,6,\ldots] \!\, .$

ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila (OEIS A051144):

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} = 2,8284 \ldots = [2;1,4,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 3,4641 \ldots = [3;2,6,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{18} = 3\sqrt{2} = 4,2426 \ldots = [4;4,8,\ldots] \!\, ,$

$\sqrt{20} = 2\sqrt{5} = 4,4721 \ldots = [4;2,8,\ldots] \!\, .$

Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, palindromni niz števk:

prazen za števila oblike $c=n^{2}+1; \ n>0\!\,$ (OEIS A002522): $\sqrt{2}\!\,$ , $\sqrt{5}\!\,$ , $\sqrt{10}\!\,$ , $\sqrt{17}\!\,$ , $\sqrt{26}\!\,$ , $\sqrt{37}\!\,$ , $\sqrt{50}\!\,$ , $\sqrt{65}\!\,$ , ..., od katerih so praštevila (OEIS A002496): $\sqrt{2}\!\,$ , $\sqrt{5}\!\,$ , $\sqrt{17}\!\,$ , $\sqrt{37}\!\,$ , $\sqrt{101}\!\,$ , $\sqrt{197}\!\,$ , $\sqrt{257}\!\,$ , ... in sestavljena (OEIS A134406): $\sqrt{10}\!\,$ , $\sqrt{26}\!\,$ , $\sqrt{50}\!\,$ , $\sqrt{65}\!\,$ , $\sqrt{82}\!\,$ , $\sqrt{122}\!\,$ , $\sqrt{145}\!\,$ , $\sqrt{170}\!\,$ , ...

Za ta števila tako velja:

$\sqrt{c} = [a_{0};\overline{2a_{0}}] \! \, .$

na primer 1 za $\sqrt{3}\!\,$ , 1,1,1 za $\sqrt{7}\!\,$ , 1,2,1 za $\sqrt{14}\!\,$ , ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike $n^{2}+1\!\,$ , imajo neprazen niz (OEIS A070303):

$\sqrt{3}\!\,$ , $\sqrt{7}\!\,$ , $\sqrt{11}\!\,$ , $\sqrt{13}\!\,$ , $\sqrt{19}\!\,$ , $\sqrt{23}\!\,$ , $\sqrt{29}\!\,$ , $\sqrt{31}\!\,$ , $\sqrt{41}\!\,$ , $\sqrt{43}\!\,$ , $\sqrt{47}\!\,$ , $\sqrt{53}\!\,$ , $\sqrt{59}\!\,$ , $\sqrt{61}\!\,$ , $\sqrt{67}\!\,$ , ...

V splošnem tako velja:

$\sqrt{c} = [a_{0};\overline{a_{1},a_{2},\dots,a_{2},a_{1},2a_{0}}] \! \, .$

Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom (OEIS A124809):

$\sqrt{50} = 7,0710 \ldots = [7;\overline{2\cdot 7}] \!\, ,$

$\sqrt{325} = 18,0277 \ldots = [18;\overline{2\cdot 18}] \!\, ,$

$\sqrt{1025} = 32,0156 \ldots = [32;\overline{2\cdot 32}] \!\, ,$

$\sqrt{1445} = 38,0131 \ldots = [38;\overline{2\cdot 38}] \!\, ,$

itd.

Števila, katerih perioda se začne:

z 2 (OEIS A065005): $\sqrt{2}\!\,$ , $\sqrt{6}\!\,$ , $\sqrt{12}\!\,$ , $\sqrt{19}\!\,$ , $\sqrt{20}\!\,$ , $\sqrt{29}\!\,$ , $\sqrt{30}\!\,$ , ...,

s 3 (OEIS A065006): $\sqrt{11}\!\,$ , $\sqrt{28}\!\,$ , $\sqrt{40}\!\,$ , $\sqrt{53}\!\,$ , $\sqrt{69}\!\,$ , $\sqrt{86}\!\,$ , $\sqrt{87}\!\,$ , ...,

s 4 (OEIS A065007): $\sqrt{5}\!\,$ , $\sqrt{18}\!\,$ , $\sqrt{39}\!\,$ , $\sqrt{52}\!\,$ , $\sqrt{68}\!\,$ , $\sqrt{85}\!\,$ , $\sqrt{105}\!\,$ , ...,

s 5 (OEIS A065008): $\sqrt{27}\!\,$ , $\sqrt{67}\!\,$ , $\sqrt{104}\!\,$ , $\sqrt{1255}\!\,$ , $\sqrt{174}\!\,$ , $\sqrt{201}\!\,$ , $\sqrt{231}\!\,$ , ...,

s 6 (OEIS A065009): $\sqrt{10}\!\,$ , $\sqrt{38}\!\,$ , $\sqrt{84}\!\,$ , $\sqrt{103}\!\,$ , $\sqrt{148}\!\,$ , $\sqrt{173}\!\,$ , $\sqrt{230}\!\,$ , ...,

s 7 (OEIS A065010): $\sqrt{51}\!\,$ , $\sqrt{124}\!\,$ , $\sqrt{200}\!\,$ , $\sqrt{229}\!\,$ , $\sqrt{329}\!\,$ , $\sqrt{366}\!\,$ , $\sqrt{447}\!\,$ , ...,

z 8 (OEIS A065011): $\sqrt{17}\!\,$ , $\sqrt{66}\!\,$ , $\sqrt{147}\!\,$ , $\sqrt{172}\!\,$ , $\sqrt{260}\!\,$ , $\sqrt{293}\!\,$ , $\sqrt{405}\!\,$ , ...,

z 9 (OEIS A065012): $\sqrt{83}\!\,$ , $\sqrt{199}\!\,$ , $\sqrt{328}\!\,$ , $\sqrt{365}\!\,$ , $\sqrt{534}\!\,$ , $\sqrt{581}\!\,$ , $\sqrt{735}\!\,$ , ...

Dvočlene oblike [uredi]

Druga kvadratna iracionalna števila, kjer c ni kvadratno število:

$(1+\sqrt{2})/2 = 1,2071 \ldots = [1;4,1,\ldots] \!\, ,$

$(1+\sqrt{3})/2 = 1,3660 \ldots = [1;2,1,\ldots] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/2 = 1,6180 \ldots = [1;1,\ldots] \equiv [1;\overline{1}] \!\,$ (število zlatega reza),

$(1+\sqrt{2})/3 = 0,8047 \ldots = [0;1,\overline{4,8}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{3})/3 = 0,9106 \ldots = [0;1,\overline{10,5}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/3 = 1,0786 \ldots = [1;\overline{12,1,2,2,2,1}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{2})/5 = 0,4828 \ldots = [0;2,\overline{1,4}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{3})/5 = 0,5464 \ldots = [0;1,\overline{1,4,1,7}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/5 = 0,6472 \ldots = [0;1,\overline{1,1,1,5,22,5}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/6 = 0,5393 \ldots = [0;1,\overline{1,5}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/7 = 0,4622 \ldots = [0;2,\overline{6,7,1,1,1,30,1,1,1,7}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/8 = 0,4045 \ldots = [0;2,\overline{2,8}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/9 = 0,3595 \ldots = [0;2,\overline{1,3,1,1,3,9}] \!\, ,$

$(1+\sqrt{5})/10 = 0,3236 \ldots = [0;3,\overline{11}] \!\, ,$

$(2+\sqrt{5})/2 = 2,1180 \ldots = [2;\overline{8,2}] \!\, ,$

$(42+\sqrt{2})/42 = 1,0336 \ldots = [1;29,\overline{1,2,3,6,3,2,1,58}] \!\, ,$

$(42+\sqrt{42})/42 = 1,1543 \ldots = [1;6,\overline{2,12}] \!\, ,$

$(4242+\sqrt{4242})/4242 = 1,0153 \ldots = [1;65,\overline{7,1,1,1,8,1,1,1,7,130}] \!\, ...$

Če je c kvadratno število in $d>1$ , je dano število racionalno, njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:

$(2+\sqrt{4})/5 = 4/5 = 0,8 = [0;1,4] \!\, ,$

$(41+\sqrt{1764})/42 = 83/42 = 1,9\overline{761904} = [1;1,41] \!\, .$

To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala Lagrange (1770) in Legendre, pred njima pa je obrat dokazal Euler z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov - če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.