Vozli Čebišova

Vôzli Čebišova [~ čebíšova] (tudi vozli Čebiševa) so v matematiki in numerični analizi ničle polinomov Čebišova. Pri izbiri za interpolacijo so zelo pripravni in z njimi se lahko ognemo problemom Rungejevega pojava.

Za n vozlov na intervalu [-1, 1] lahko vozle Čebišova določimo kot:

$x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \!\, ,$

kjer je:

$1 \le i \le n.$

Za poljuben interval [a, b] lahko uporabimo linearno transformacijo, da dobimo:

$x_i = \frac{1}{2} (a+b) + \frac{1}{2} (b-a) \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \!\, .$

Dokaz

Naj je T_n polinom Čebišova oblike:

$T_n(x) = \cos(n\cos^{-1}(x)) \!\, .$

Funkcija kosinus ima periodične ničle:

$r_i = (2i-1)\frac{\pi}{2} \!\,$

za vsak cel i, kar da:

$T_n(x_i) = \cos(n\cos^{-1}(x_i)) = \cos(r_i) = 0 \!\, .$

Tako ničle polinomov Čebišova nastopajo pri:

$n\cos^{-1}(x_i) = r_i \!\, ,$

kar lahko rešimo za x_i, da dobimo:

$x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \!\, .$