Vozli Čebišova

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Vôzli Čebišova [~ čebíšova] (tudi vozli Čebiševa) so v matematiki in numerični analizi ničle polinomov Čebišova. Pri izbiri za interpolacijo so zelo pripravni in z njimi se lahko ognemo problemom Rungejevega pojava.

Za n vozlov na intervalu [-1, 1] lahko vozle Čebišova določimo kot:

 x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \!\, ,

kjer je:

 1 \le i \le n.

Za poljuben interval [a, b] lahko uporabimo linearno transformacijo, da dobimo:

 x_i = \frac{1}{2} (a+b) + \frac{1}{2} (b-a) \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \!\, .

Dokaz[uredi | uredi kodo]

Naj je Tn polinom Čebišova oblike:

 T_n(x) = \cos(n\cos^{-1}(x)) \!\, .

Funkcija kosinus ima periodične ničle:

 r_i = (2i-1)\frac{\pi}{2} \!\,

za vsak cel i, kar da:

 T_n(x_i) = \cos(n\cos^{-1}(x_i)) = \cos(r_i) = 0 \!\, .

Tako ničle polinomov Čebišova nastopajo pri:

 n\cos^{-1}(x_i) = r_i \!\, ,

kar lahko rešimo za xi, da dobimo:

 x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \!\, .