Iracionalno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Seznam številIracionalna števila
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - Φ - α - e - π - δ

Iracionálno števílo je v matematiki po definiciji vsako realno število, ki ga ni moč zapisati v obliki ulomka a/b, kjer bi bila a in b celi števili in b različno od 0. Števila, ki se dajo zapisati kot ulomek z naštetimi omejitvami so racionalna števila. Med iracionalna števila spada veliko števil, ki jih matematik ali uporabnik matematike uporablja vsak dan: π, e, log 2, \sqrt 2 (kvadratni koren števila 2), ...

Pri teoretičnih izpeljavah nas iracionalnost ne moti preveč; pri računanju pa moramo uporabiti kak racionalni približek. Največkrat je to decimalni ulomek: π ~ 3,14159 = 314.159/100.000. Za število π so že v davnini našli bolj pripravne racionalne približke (glej članek o številu π).

Vse naštete množice števil (realna, racionalna, iracionalna) imajo neskončno veliko članov. Vendar je razlika: množica racionalnih števil je števno neskončna, množica realnih števil pa je neštevna. Da se dokazati, da je možno vsa racionalna števila primerjati z zaporedjem naravnih števil (1, 2, 3, ...) tako, da vsakemu racionalnemu številu pripišemo zaporedno lego. Torej se da racionalna števila »prešteti«. V nadaljevanju dokažemo ([1]), da je množica vseh realnih števil neštevna. Torej je množica iracionalnih števil, razlika med realnimi in racionalnimi števili neštevna.

Iracionalna števila, čeprav malo znana v običajnem življenju, niso redkost. Jih je celo »veliko več« kot naravnih števil oziroma racionalnih števil.

Algebrska in transcendentna iracionalna števila[uredi | uredi kodo]

Iracionalna števila, ki so rešitve kakšnega polinoma s celimi (racionalnimi) koeficienti, so tudi algebrska števila. Množica algebrskih (iracionalnih števil) je števna. Vsa iracionalna števila, ki niso algebrska, so trancendentna, tako da so vsa trancendentna števila hkrati tudi iracionalna. Na primer: e^{a}\!\, in \pi^{a}\!\, so iracionalna (in transcendentna) pri algebrskem (racionalnem) a \ne 0. Takšno je tudi e^{\pi}\!\,.

Ker je množica iracionalnih števil neštevna, je neštevno mnogo tudi transcendentnih števil. Ker množica algebrski števil tvori obseg, lahko veliko iracionalnih števil skonstruiramo s kombinacijo trancendentnih in algebrskih. Na primer: 3\pi + 2\!\,, \pi + \sqrt{2}\!\, in e\sqrt{3}\!\,, so iracionalna (in tudi trancendentna).