Cayley-Dicksonova konstrukcija

Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.

Algebre, ki jih tvorimo na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.

Kompleksna števila kot urejeni pari

Kompleksna števila lahko zapišemo kot urejen par $(a, b) \,$ realnih števil $a \,$ in $b \,$. Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot

$(a, b) (c, d) = (a c - b d, a d + b c).\,$

Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je (a, 0) je realno število.

Konjugirano število

Konjugirano število $(a, b)^{*} = (a, -b) \,$. Za konjugirana števila velja lastnost

$(a, b)^* (a, b) = (a a + b b, a b - b a) = (a^2 + b^2, 0),\,$

To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili.

Normo kompleksnega števila $z \,$ izračunamo kot

$|z| = (z^* z)^{1/2}.\,$

Obratna vrednost pa je

$z^{-1} = {z^* / |z|^2}.\,$.

Kvaternioni

Kvaternione dobimo s pomočjo podobnega postopka.

Uporabimo urejen par $(a, b) \,$ kompleksnih števil $a \,$ in $b \,$. Množenje definiramo kot

$(a, b) (c, d) = (a c - d^* b, d a + b c^*).\,$

Konjugirana vrednost para $(a, b) \,$ je določena kot

$(a, b)^* = (a^*, -b).\,$

Zmnožek tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je

$(a, b)^* (a, b) = (a^*, -b) (a, b) = (a^* a + b^* b, b a^* - b a^*) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ).\,$. To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila imenujemo kvaternioni.

Oktonioni

Postopek lahko nadaljujemo na podoben način . Urejen par $(p, q) \,$ dveh kvaternionov $p \,$ in $q \,$. Množenje in konjugiranje definiramo enako kot za kvaternione. Urejen par $(p, q)$ kvaternionov $p$ in $q$.

$(p, q) (r, s) = (p r - s^* q, s p + q r^*).\,$.

Velja

$(p, q) (r, s) = (p r - s^* q, s p + q r^*).\,$

Pri tem pa moramo upoštevati, da kvaternioni niso komutativni.

Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.

Naslednje algebre

Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion $s \,$ velja $s^n. s^n = s^{n +m} \,$.

Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak nam da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.

Zunanje povezave

• Zgodovina hiperkompleksnih števil (v angleščini)
• Cayley-Dicksonova konstrukcija (v angleščini)
• Cayley-Dicksonova konstrukcija na PlanethMath (v angleščini)