Cayley-Dicksonova konstrukcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.

Algebre, ki jih tvorimo na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.

Kompleksna števila kot urejeni pari[uredi | uredi kodo]

Kompleksna števila lahko zapišemo kot urejen par  (a, b) \, realnih števil  a \, in  b \,. Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot

(a, b) (c, d) = (a c - b d, a d + b c).\,

Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je (a, 0) je realno število.

Konjugirano število[uredi | uredi kodo]

Konjugirano število  (a, b)^{*}  = (a, -b) \,. Za konjugirana števila velja lastnost

(a, b)^* (a, b)
  = (a a + b b, a b - b a) = (a^2 + b^2, 0),\,

To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili.

Normo kompleksnega števila  z \, izračunamo kot

|z| = (z^* z)^{1/2}.\,

Obratna vrednost pa je

z^{-1} = {z^* / |z|^2}.\,.

Kvaternioni[uredi | uredi kodo]

Kvaternione dobimo s pomočjo podobnega postopka.

Uporabimo urejen par  (a, b) \, kompleksnih števil  a \, in  b \,. Množenje definiramo kot

(a, b) (c, d)
  = (a c - d^* b, d a + b c^*).\,

Konjugirana vrednost para  (a, b) \, je določena kot

(a, b)^* = (a^*, -b).\,

Zmnožek tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je

(a, b)^* (a, b)
  = (a^*, -b) (a, b)
  = (a^* a + b^* b, b a^* - b a^*)
  = (|a|^2 + |b|^2, 0 ).\,. To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila imenujemo kvaternioni.

Oktonioni[uredi | uredi kodo]

Postopek lahko nadaljujemo na podoben način . Urejen par  (p, q) \, dveh kvaternionov  p \, in  q \,. Množenje in konjugiranje definiramo enako kot za kvaternione. Urejen par (p, q) kvaternionov p in q.

(p, q) (r, s)
  = (p r - s^* q, s p + q r^*).\,.

Velja

(p, q) (r, s)
  = (p r - s^* q, s p + q r^*).\,

Pri tem pa moramo upoštevati, da kvaternioni niso komutativni.

Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.

Naslednje algebre[uredi | uredi kodo]

Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion  s \, velja  s^n. s^n = s^{n +m} \,.

Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak nam da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]