Oktonion

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Októnion (tudi Cayleyjevo število, Cayleyjev oktonion ali oktava) (oznaka množice oktonionov  \mathbb O \,) je neasociativna razširitev kvaternionov. Oktonioni tvorijo 8 razsežno algebro nad realnimi števili. Obstojajo štiri takšne algebre: to so algebra kvaternionov ( \mathbb H \,), kompleksnih ( \mathbb C \,) in realnih števil ( \mathbb R \,).

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Oktonione je odkril leta 1843 irski matematik in pravnik John Thomas Graves (1806 – 1870).

Neodvisno jih je odkril tudi britanski matematik Arthur Cayley (1821 – 1895). Zaradi tega oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila oziroma Cayleyjevi oktonioni.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Oktonione si lahko predstavljamo kot oktete realnih števil. Vsak oktonion je linearna kombinacija enotskih oktonionov  \{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\} \, kjer je  e_0 \, skalar. To pomeni, da se vsak oktonion lahko zapiše kot:

 x = x_0 e_0 + x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4 + x_5 e_5 + x_6 e_6 + x_7 e_7 \!\, ,

kjer so:

  •  x_i \, realni koeficienti

Oktonioni se seštevajo enako kot kompleksna števila.

Množenje oktonionov je dano z naslednjo tabelo za enotski oktonion.

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 -1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6
e2 −e3 -1 e1 e6 e7 −e4 −e5
e3 e2 −e1 -1 e7 −e6 e5 −e4
e4 −e5 −e6 −e7 -1 e1 e2 e3
e5 e4 −e7 e6 −e1 -1 −e3 e2
e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 -1 −e1
e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 -1
Množenje Cayleyjevih oktonionov
Vrednosti so antisimetrične okoli diagonale z vrednostmi -1.

Pogosto namesto številk uporabljamo črke:

število 1 2 3 4 5 6 7
črka i j k l il jl kl
drugi znak i j k l m n o

Cayley-Dicksonova konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Uporablja se za definiranje oktonionov. Podobno kot se kvaternioni definirajo kot pari kompleksnih števil, se tudi oktonioni definirajo kot pari kvaternionov. Produkt dveh kvaternionov  (a, b) \, in  (c, d) \, je določen z:

\ (a,b)(c,d)=(ac-db^{*},da+bc^{*})

kjer

  •  z^* \, pomeni konjugirano vrednost kvaterniona z.

To je enakovredno, kot da osem enotskih oktonionov definiramo kot pare

(1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k).

Konjugirani oktonion, norma in obratna vrednost[uredi | uredi kodo]

Konjugirana vrednost oktoniona:

 x = x_0 + x_1\,e_1 + x_2\,e_2 + x_3\,e_3 + x_4\,e_4 + x_5\,e_5 + x_6\,e_6 + x_7\,e_7 \!\,

je enaka:

 x^* = x_0 - x_1\,e_1 - x_2\,e_2 - x_3\,e_3 - x_4\,e_4 - x_5\,e_5 - x_6\,e_6 - x_7\,e_7 \!\, .

Norma oktoniona je:

\|x\| = \sqrt{x^{*} x} \!\, .

Obstoj norme pogojuje obstoj obratnega elementa za vsak neničelen element. Obratni element za vsak x ≠ 0, je dan z:

 x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2} \!\, .

Velja pa tudi x x−1 = x−1 x = 1.

Preprost mnemonični sistem za določanje produktov enotskih oktonionov.

Fanova ravnina[uredi | uredi kodo]

S pomočjo diagrama na desni lahko na enostaven način določamo produkte enotskih oktonionov. Ravnina s sedmimi točkami in sedmimi povezavami se imenuje Fanova ravnina, ki se imenuje po italijanskem matematiku Ginu Fanu (1871 – 1052). Povezave so usmerjene. Ravnina ima 7 točk in 7 povezav. Na vsaki povezavi so tri točke. Krožnica preko točk 1, 2 in 3 je enakovredna ravni povezavi. S pomočjo tabele produktov si lahko sestavimo pravila za množenje enotskih oktonionov.

Značilnosti oktonionov[uredi | uredi kodo]

e_ie_j = -e_je_i \neq e_je_i\,
(e_ie_j)e_l = -e_i(e_je_l) \neq e_i(e_je_l)\,
  • Oktonioni zadoščajo šibkejši obliki asociativnosti. Tvorijo tako imenovano alternativno algebro. To pomeni, da je vsaka podalgebra, zgrajena s poljubnima dvema elementoma asociativna.
  • Oktonioni imajo pomembno lastnost, da zanje velja
\|xy\| = \|x\|\|y\|. To pomeni, da oktonioni tvorijo normirano algebro z deljenjem.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]