Obseg (algebra)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Obsèg je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ab = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b−1. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.

Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)

Kratka definicija[uredi | uredi kodo]

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:

  • (O, +, ·) je kolobar
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
  • za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
a · a−1 = a−1 · a = 1

Daljša definicija[uredi | uredi kodo]

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):

  • asociativnost za množenje: a · (b · c) = (a · b) · c
  • distributivnost (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
  • za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
a · a−1 = a−1 · a = 1

Vrste obsegov[uredi | uredi kodo]

Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.

Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]