Algebrska struktura

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Algébrska struktúra (zastarelo algebrajska ali algebra(j)ična struktura) je v matematiki ime za množico skupaj z (vsaj eno) računsko operacijo, ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje abstraktna algebra.

Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih lasnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te lastnosti imenujemo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje lastnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če ugotovimo, da ima neka struktura določene lastnosti, lahko sklepamo, da te lastnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo.

Najpomembnejše algebrske strukture[uredi | uredi kodo]

Grupa[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Grupa (matematika).

Najosnovnejša algebrska struktura je grupa. To je množica M, v kateri lahko brez omejitev izvajamo neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz M je tudi rezultat operacije vedno element množice M). Operacijo v splošnem pišemo z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak a, b, c iz M):

Posebej zanimiv primer grupe je Abelova grupa. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom:

Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe:

Kolobar in obseg[uredi | uredi kodo]

Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Eno od operacij po navadi imenujemo seštevanje in jo označimo z znakom +, drugo pa imenujemo množenje in jo označimo z znakom · (ali zaradi splošnosti tudi *).

Táko množico K imenujemo kolobar, če je K za operacijo + Abelova grupa, poleg tega pa za množenje veljata asociativnostni in distributivnostni zakon.

Kolobar, ki vsebuje tudi nevtralni element za množenje, imenujemo kolobar z enoto. Če ima poleg tega vsak element kolobarja (razen elementa 0) svoj inverzni element za množenje, pravimo taki množici obseg. Obseg, v katerem je množenje komutativno, imenujemo komutativni obseg ali polje.

Znani komutativni obsegi so:

Vektorski prostor[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Vektorski prostor.

Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je vektorski prostor. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih vektorjev).

Vektorski prostor je množica V, ki je za seštevanje Abelova grupa, druga računska operacija pa ni definirana v tej množici, pač pa povezuje elemente množice V z elementi nekega komutativnega obsega F. To operacijo imenujemo množenje vektorja s skalárjem in mora imeti podobne lastnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru.

Zanimive primere vektorskih prostorov najdemo v množici funkcij.

Viri[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]