Inverzni element

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Invêrzni elemênt ali invêrz je v algebri element, ki v povezavi z določeno računsko operacijo deluje obratno kot dani elemet a. Inverz elementa a na splošno označimo a−1.

Definicija[uredi | uredi kodo]

V množici M naj bo definirana operacija *, ki ima nevtralni element e (to pomeni, da velja za poljuben a iz te množice: a * e = e * a = a).

Element a−1 je inverz elementa a glede na operacijo *, če velja: a * a−1 = a−1 * a = e.

Če velja samo a * a−1 = e, pravimo, da je a−1 desni inverz elementa a; če velja samo a−1 * a = e, pa pravimo, da je a−1 levi inverz elementa a. V splošnem ima a lahko samo levi ali pa tudi samo desni inverz, za matematiko pa je najzanimivejša situacija, ko je isti element levi in desni inverz hkrati - temu potem pravimo obojestranski inverz ali kratko samo inverz.

Če je operacija * asociativna in ima element a levi in desni inverz, potem mora biti to isti element in je enolično določen. Taka situacija nastopa npr. če je množica M grupa za operacijo *.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Inverz za seštevanje[uredi | uredi kodo]

Inverzni element za seštevanje po navadi imenujemo nasprotni element ali nasprotna vrednost in ga označimo −a.

Velja: a + (−a) = (−a) + a = 0

Zgleda:

  • Nasprotna vrednost števila 8 je število −8.
  • Nasprotna vrednost vektorja \vec{x}=\vec{AB} je vektor -\vec{x}=\vec{BA}.

Inverz za množenje[uredi | uredi kodo]

Inverzni element za množenje (v številskih množicah) po navadi imenujemo obratni element ali obratna vrednost (tudi recipročna vrednost) in ga označimo a−1 ali tudi \frac{1}{a}.

Zgled:

  • Obratna vrednost števila \frac{2}{5} je \frac{5}{2}.

Inverz za kompozitum[uredi | uredi kodo]

Inverzni element za kompozitum funkcij imenujemo inverzna funkcija. To je funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija.

Množenje matrik je pravzaprav samo drugo ime za kompozitum linearnih transformacij. Inverzna matrika A−1 predstavlja linearno transformacijo, ki deluje obratno kot dana matrika dimenzije n×n.

Zgleda:

  • Inverz funkcije f(x)=x^3\,\! je funkcija f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.
  • Inverz matrike A =  \begin{bmatrix}    2 & 5 \\    1 & 3  \end{bmatrix} je matrika A^{-1} =  \begin{bmatrix}    3 & -5 \\    -1 & 2  \end{bmatrix}.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]