Racionalna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Skoči na: navigacija, iskanje

Rácionalna fúnkcija je v matematiki funkcija v obliki ulomka, ki ima v števcu in imenovalcu polinom. Po navadi privzamemo, da polinom v imenovalcu ni konstantno enak nič.

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} \!\, .

[uredi] Lastnosti racionalne funkcije

Racionalna funkcija je definirana za vsak x razen za tistega, ki je ničla polinoma v imenovalcu.

Po osnovnem izreku algebre lahko polinom v števcu in v imenovalcu razcepimo. Če je ulomek okrajšan, dobimo pri tem v števcu ničle racionalne funkcije, v imenovalcu pa pole racionalne funkcije. V polih se graf racionalne funkcije pretrga in se približuje navpični asimptoti.

Ko gre x proti neskončno ali proti minus neskončno, se racionalna funkcija približuje asimptotskemu polinomu k(x), ki ga dobimo kot količnik pri deljenju števca z imenovalcem. Pri tem deljenju dobimo tudi ostanek - če obstaja točka, kjer je ostanek enak 0, potem tam racionalna funkcija seka asimptotski polinom. Če je asimptotski polinom prve stopnje, ga imenujemo asimptotska premica oziroma (glavna) asimptota.

[uredi] Zgled

Racionalna funkcija

Racionalna funkcija f(x)=\frac{x^3-2x}{2x^2-10} ima:

  • ničle 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}

Ničle racionalne funkcije, so ničle števca:

x^3-2x=x(x^2-2)=x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0

  • pola \sqrt{5}, -\sqrt{5}

Poli racionalne funkcije so ničle imenovalca:

2x^2-10=2(x^2-5)=2(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0

  • asimptoto y=\frac{1}{2}x

Izračun asimptote:

(x^3-2x)/(2x^2-10)=\frac{x}{2}

− x3 + 5x seštejemo z (x3 − 2x)

3x-ostanek, ker 3xne moremo več deliti z 2x2 − 10

Končni rezultat: x^3-2x=\frac{x}{2}(2x^2-10)+3x

Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org/wiki/Racionalna_funkcija«