Racionalna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Rácionalna fúnkcija je v matematiki funkcija v obliki ulomka, ki ima v števcu in imenovalcu polinom. Po navadi privzamemo, da polinom v imenovalcu ni konstantno enak nič.

 f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} \!\, .

Značilnosti racionalne funkcije[uredi | uredi kodo]

Racionalna funkcija je definirana za vsak x razen za tistega, ki je ničla polinoma v imenovalcu, ali pri katerem funkcija v imenovalcu sploh ni definirana(kar je posebej treba biti pozoren pri logaritemskih funkcijah)

Po osnovnem izreku algebre lahko polinom v števcu in v imenovalcu razcepimo. Če je ulomek okrajšan, dobimo pri tem v števcu ničle racionalne funkcije, v imenovalcu pa pole racionalne funkcije. V polih se graf racionalne funkcije pretrga in se približuje navpični asimptoti.

Ko gre x proti neskončno ali proti minus neskončno, se racionalna funkcija približuje asimptotskemu polinomu k(x), ki ga dobimo kot količnik pri deljenju števca z imenovalcem. Pri tem deljenju dobimo tudi ostanek - če obstaja točka, kjer je ostanek enak 0, potem tam racionalna funkcija seka asimptotski polinom. Če je asimptotski polinom prve stopnje, ga imenujemo asimptotska premica oziroma (glavna) asimptota.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Racionalna funkcija

Racionalna funkcija f(x)=\frac{x^3-2x}{2x^2-10} ima:

  • ničle 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \!\,

Ničle racionalne funkcije, so ničle števca:

 x^3-2x=x(x^2-2)=x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0 \!\,
  • pola \sqrt{5}, -\sqrt{5} \!\,

Poli racionalne funkcije so ničle imenovalca:

2x^2-10=2(x^2-5)=2(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0 \!\,
  • asimptoto y=\frac{1}{2}x

Izračun asimptote:

(x^3-2x)/(2x^2-10)=\frac{x}{2} \!\,
-x^3+5x seštejemo z (x^3-2x) \!\,
3x \!\, -ostanek, ker 3x ne moremo več deliti z 2x^2-10

Končni rezultat:

 x^3-2x=\frac{x}{2}(2x^2-10)+3x \!\, .