Pol (kompleksna analiza)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za druge pojme glej Singularnost.

V realni in kompleksni analizi pomeni pól funkcije določeno vrsto preproste singularnosti, kjer se funkcija obnaša podobno kot f(z) = 1/zn pri z = 0. V polu funkcija praviloma ni definirana, v poljubni okolici pola pa absolutna vrednost funkcije preseže poljubno veliko število (pravimo, da gre |f(z)| proti neskončno, ko se z približuje polu).

Formalno, denimo, da je U odprta podmnožica kompleksne ravnine C, a naj bo element U in f : U − {a} → C naj bo holomorfna funkcija. Če obstaja holomorfna funkcija g : UC in naravno število n, da velja f(z) = g(z) / (z - a)n za vse z v U − {a}, potem se a imenuje pol funkcije f. Če je n izbran tako majhen, kot je to le mogoče, se n imenuje stopnja ali red pola.

Število a je pol reda n funkcije f, če in samo če ima Laurentova vrsta funkcije f okoli a le končno mnogo členov z negativnimi stopnjami, začenši z (z - a)n.

Pol reda 0 je odpravljiva singularnost. V tem primeru limita limza f(z) obstaja kot kompleksno število. Če je red večji od 0, potem je limza f(z) = ∞.

Neodpravljiva singularnost, ki ni niti pol niti točka vejitve se imenuje bistvena singularnost.

Holomorfne funkcije, katerih edine singularnosti so poli, se imenujejo meromorfne.