Erdős-Borweinova konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Erdős-Borweinova konstanta je vsota obratnih vrednosti Mersennovih števil. Imenuje se po Paulu Erdősu in Petru Borweinu.

Po definiciji velja (OEIS A065442):

 E_{\rm B} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}-1} \approx 1{,}60669\,51524\,15291\,76378 \dots

Dokazati je moč, da so naslednje oblike ekvivalentne prejšnji:

 E_{\rm B} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1} \!\, ,
 E_{\rm B} = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}} \!\, ,
 E_{\rm B} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)}{2^{n}} \!\, ,
 E_{\rm B} = 1 - \frac{\psi_{1/2}(1)}{\ln 2} \!\, .

Tu d(n) predstavlja aritmetično multiplikativno funkcijo, število pozitivnih deliteljev števila n, \psi_{q}(z) pa funkcijo q-poligama.

Erdős je leta 1948 dokazal, da je konstanta EB iracionalno število. Borwein pa je leta 1992 dokazal naprej, da je:

 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q^{n}-r} \!\,

iracionalno število pri r\ne 0.

Neskončni verižni ulomek konstante je [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...]

Sorodna konstanta je (OEIS A173898):

\begin{align} 
 K & = \sum_{M_{n} \in \mathbb{P}}^{\infty}\frac{1}{M_{n}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{31} + \frac{1}{127} + \frac{1}{8191} + \frac{1}{131071} + \frac{1}{524287} + \frac{1}{2147483647} \dots \\
& \approx 0{,}51645\,41789\,40788\,56533 \dots \!\, , \end{align}

kjer nastopajo Mersennova praštevila in, ki je verjetno tudi iracionalno število.

Razmerje med konstantama je enako:

 \frac{E_{\rm B}}{K} \approx 3{,}11101\,20082\,87959\,36235... \!\, .

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]