Dualno število

Dualno število je razširitev realnih števil z dodajanjem novega elementa $\varepsilon^2 = 0 \,$ ( $\varepsilon \,$ je nilpotenten). Dualna števila prištevamo med hiperkompleksna števila.

Množica dualnih števil tvori dvorazsežno komutativno unitarno asociativno algebro nad realnimi števili.

Dualna števila imajo obliko $z = a + b\varepsilon \,$ , kjer sta a in b realni števili.

Dualna števila je uvedel William Kingdon Clifford leta 1873. Kandasamy; Smarandache (2012), str. 9

Z uporabo matrik lahko dualna števila izrazimo kot

$\varepsilon = \begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}\quad\text{in}\quad a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ .

Vsota in zmnožek dualnih števil se izračuna z uporabo pravil običajnega seštevanja in množenja matrik.

Značilnosti [uredi]

Podobno kot v vseh hiperkompleksnih algebrah tudi pri dualnih številih velja levi in desni zakon distribucije. Podobno kot kompleksna števila so tudi komutativna in asociativna. Zanje velja

$1\cdot \varepsilon=\varepsilon\cdot 1=\varepsilon$

$1\cdot (1\cdot \varepsilon)=1\cdot \varepsilon=(1\cdot 1)\cdot \varepsilon=\varepsilon$

$1\cdot (\varepsilon\cdot \varepsilon)=1\cdot 0=0=\varepsilon\cdot \varepsilon=(1\cdot \varepsilon)\cdot \varepsilon$ .

Deljenje dualnih števil [uredi]

Dualna števila delimo enako kot delimo kompleksna števila. To pomeni, da imenovalec in števec pomnožimo s konjugirano vrednostjo in s tem odstranimo nerealni del.

Primer deljenja dualnega števila:

Imamo število

${a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}$

Pomnožimo števec in imenovalec s konjugirano vrednostjo imenovalca

$= {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)} = {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2)} = {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-0 \over c^2-0}$