Dualno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Dualno število je razširitev realnih števil z dodajanjem novega elementa  \varepsilon^2 = 0 \, ( \varepsilon \, je nilpotenten). Dualna števila prištevamo med hiperkompleksna števila.

Množica dualnih števil tvori dvorazsežno komutativno unitarno asociativno algebro nad realnimi števili.

Dualna števila imajo obliko  z = a + b\varepsilon \,, kjer sta a in b realni števili.

Dualna števila je uvedel William Kingdon Clifford leta 1873. Kandasamy; Smarandache (2012), str. 9

Z uporabo matrik lahko dualna števila izrazimo kot

\varepsilon = \begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}\quad\text{in}\quad a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}.

Vsota in zmnožek dualnih števil se izračuna z uporabo pravil običajnega seštevanja in množenja matrik.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Podobno kot v vseh hiperkompleksnih algebrah tudi pri dualnih številih velja levi in desni zakon distribucije. Podobno kot kompleksna števila so tudi komutativna in asociativna. Zanje velja

1\cdot \varepsilon=\varepsilon\cdot 1=\varepsilon
1\cdot (1\cdot \varepsilon)=1\cdot \varepsilon=(1\cdot 1)\cdot \varepsilon=\varepsilon
1\cdot (\varepsilon\cdot \varepsilon)=1\cdot 0=0=\varepsilon\cdot \varepsilon=(1\cdot \varepsilon)\cdot \varepsilon.

Deljenje dualnih števil[uredi | uredi kodo]

Dualna števila delimo enako kot delimo kompleksna števila. To pomeni, da imenovalec in števec pomnožimo s konjugirano vrednostjo in s tem odstranimo nerealni del.

Primer deljenja dualnega števila:

Imamo število
{a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}
Pomnožimo števec in imenovalec s konjugirano vrednostjo imenovalca
= {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)}
= {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2)}
= {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-0 \over c^2-0}
= {ac + \varepsilon(cb - ad) \over c^2}
= {a \over c} + {(cb - ad) \over c^2}\varepsilon.
Rezultat je definiran, kadar je c različen od nič.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]