Nilpotentnost

Nilpotentnost je pojem iz teorije kolobarjev. Element $x \,$ iz kolobarja je nilpotenten, če obstoja takšno naravno število $n \,$, da velja $x^n = 0 \,$. Najmanjša vrednost, za katero to še velja, je stopnja nilpotentnosti elementa $x \,$.

Pojem je vpeljal ameriški matematik Benjamin Peirce (1809 – 1880).

Primeri

Zgornjo definicijo lahko uporabimo za kvadratne matrike.

• Matrika

$A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$

je nilpotentna, ker zanjo velja $A^3 = 0 \,$ .

• Predpostavimo, da dva elementa v nekomutativnem kolobarju $R \,$ zadoščata pogoju $ab = 0 \,$. Potem je element $c = ba \,$ nilpotenten, ker je $c^2 = (ba) ^2 = b(ab)a = 0 \,$.
• Naslednji primer uporablja dve matriki ($A \,$ in $B \,$)

$A = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix} \;\; B =\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$

tako, da velja $AB = 0 \,$ in $BA = B \,$.

Glej tudi

• nilpotentna matrika
• nilpotentna grupa

Zunanje povezave

• Nilpotentni elementi (v angleščini)
• Nilpotentne grupe (v angleščini)
• Lastnosti nilpotentne grupe (v angleščini)