Hiperbolično število

Del ravnine hiperboličnih števil s prikazanimi podmnožicami, ki imajo absolutno vrednost 0 (rdeče), 1 (modro) in -1 (zeleno).

Hiperbolično število (tudi kompleksno število hiperboličnega tipa ali razcepljeno kompleksno število) je v abstraktni algebri dvorazsežna komutativna algebra nad realnimi števili, ki se razlikujejo od kompleksnih števil. Vsako hiperbolično število lahko zapišemo v obliki

$x + yj \,$

kjer je

$x \,$ realno število
$y \,$ realno število
$j \,$ število podobno imaginarni enoti, razen, da zanj velja

$j^2 = 1 \,$ tako, da pri tem upoštevamo samo nerealne korene.

Značilnosti[uredi]

Seštevanje je definirano kot

$(x +jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v) \,$

Množenje pa je definirano z

$(x + jy)( u + jv) = (xu + yv) + j(xv + yu) \,$

Velja tudi zakon komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti.

Konjugirano število[uredi]

Podobno kot pri običajnih kompleksnih številih je tudi za hiperbolično števil $z = x +jy \,$ konjugirano število določeno kot

$z = x^* - jy \,$ .

Konjugirana vrednost zadošča podobnim značilnostim kot običajna kompleksna števila:

$(z + w)^* = z^* + w^* \,$

$(zw)^* = z^*w^* \,$

$(z^*)^* = z \,$

Velja pa tudi

$(zw)^* = |z||w| \,$ .

Geometrija[uredi]

Množica točk $z \,$ za katere velja $z : \lVert z \rVert = a^2\,$ je hiperbola za vse ${a}$ iz $\mathbb{R}$ , ki so različni od nič. Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki gresta skozi točki $(a, 0)$ in $(-a, 0)$ . Kadar je $a= 1$ dobimo enotsko hiperbolo. Konjugirana hiperbola pa je določena z

$\{ z : \lVert z \rVert = -a^2 \}$

Matrična predstavitev[uredi]

Hiperbolična števila se zelo lepo prikažejo tudi z matriko. Hiperbolično število $z = x + j.y = 1.x +j.y \,$ lahko prikažemo kot matriko

$z \mapsto \begin{bmatrix}x & y \\ y & x\end{bmatrix}.$ ,

ker je

$1 \mapsto \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

in

$j \mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ .

Eulerjeva formula, ki velja za hiperbolična kompleksna števila ima obliko:

$\exp(j\theta) = \cosh(\theta) + j\sinh(\theta).\,$ .

Absolutna vrednost[uredi]

Absolutna vrednost hiperboličnega kompleksnega števila $z = x + jy \,$ je enaka

$\vert z \vert = z.z^* = z^*.z = x^2 - y^2 \,$ .

Zgodovina[uredi]

Uporaba razcepljenih kompleksnih števil se je pričela že v letu 1848, ko je angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) odkril tesarine. Angleški matematik in filozof William Kingdom Clifford (1845 - 1879) je uporabil razcepljena kompleksna števila za prikaz vsote spinov. Clifford je pričel z uporabo razcepljenih kompleksnih števil kot koeficientov v kvaternionski algebri, ki jih sedaj imenujemo razcepljeni bikvaternioni. Clifford jih je imenoval motorji (predstavljajo vrtenje in premik- translacijo) v skladu z rotorji (predstavljajo vrtenje), ki pa se izvajajo nad običajnimi kompleksnimi števili (iz krožne grupe)