Diskriminanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Diskriminanta (oznaka  \Delta ) je v algebri pojem, ki se uporablja v povezavi z mnogočleniki. Diskriminanta je izraz, ki daje podatke o vrstah ničel (korenov) mnogočlenika oziroma enačbe, če izenačimo mnogočlenik z 0.

Izraz izhaja iz latinske besede discriminar, kar pomeni razlikovati. Izraz je vpeljal angleški matematik James Joseph Sylvester (1814 – 1897).

Najenostavneša in najbolj znana je diskriminanta kvadratnega mnogočlenika z obliko

ax^2+bx+c\,

Diskriminanta kvadratnega mnogočlenika se izračuna z obrazcem

\Delta = \,b^2-4ac.

V tem primeru ima kvadratni mnogočlenik takrat, ko je  \Delta > 0 \, dve realni ničli (korena) mnogočlenika. Kadar pa je  \Delta = 0 \, ima mnogočlenik samo eno realno ničlo, kadar pa je  \Delta < 0 \, mnogočlenik nima realnih ničel.

Diskriminanta mnogočlenika tretje stopnje (kubični mnogočlenik) z obliko

ax^3+bx^2+cx+d\,

je enaka

\,b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd .

Diskriminante mnogočlenikov višjih stopenj imajo še več členov: tako ima diskriminanta mnogočlenika, ki pripada enačbi četrte stopnje (kvartna funkcija) 16 členov [1] , diskriminanta mnogočlenika, ki pripada enačbi pete stopnje (kvintna funkcija) pa 59 členov [2].

Če pa iščemo diskriminanto mnogočlenika, ki pripada enačbi šeste stopnje pa ima že 246 členov [3].

Mnogočleniki imajo večkratne ničle (lahko tudi med komplesnimi števili), če in samo, če je njihova diskriminanta enaka 0.

To velja tudi, če imajo mnogočleniki koeficiente v obsegu, ki ne vsebuje kompleksnih števil.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Če izrazimo diskriminanto z ničlami mnogočlenika, jo lahko zapišemo kot

a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}

kjer so

  •  a_n vodeči koeficienti
  •  r_1, \dots, r_n ničle mnogočlenika

Diskriminanta je simetrična funkcija glede na ničle, ker so koeficienti osnovni simetrični mnogočleniki ničel.

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

Pojem diskriminante lahko posplošimo še na druge algebrske strukture. Med njimi so stožnice, kvadratne forme in algebrski številčni obsegi.

Diskriminanta mnogočlenika[uredi | uredi kodo]

Da bi našli obrazec za izračun diskriminante mnogočlenika v odvisnosti od njegovih koeficientov je najenostavneje, če uvedemo pojem rezultante (rezultanta dveh moničnih mnogočlenikov (vodeči koeficient ima enak 1) je definirana kot produkt razlik ničel teh dveh mnogočlenikov). Tako kot je diskriminanta za samo mnogočlenik produkt kvadratov razlik med kvadrati posameznih ničel mnogočlenika, je tudi rezultanta dveh mnogočlenikov produkt razlik med njihovimi ničlami (koreni) in podobno kot diskriminanta dobi vrednost nič, če ima mnogočlenik večkratne ničle, tako tudi rezultanta dobi vrednost nič, če in samo, če imajo mnogočleniki skupno ničlo.

Ker ima mnogočlenik  p(x) \, večkratne ničle samo, če in samo, če ima skupne ničle z odvodom  p'(x) \,, imata diskriminanta  D(p) \, in rezultanta  R(p, p') \, lastnost, da postaneta enaki 0, če in samo, če ima  p \, večkratne ničle in imata isto stopnjo in da sta enaka do faktorja stopnje 1.

Korist od rezultante je v tem, da se lahko izračuna kot determinanta oziroma kot determinanta Sylvestrove matrike, ki pa ima razsežnost  (2n -1) \times (2n - 1) \,.

Rezultanta  R(p, p') \, splošnega mnogočlenika

p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0 je enaka determinanti Sylvestrove matrike z razsežnostjo  (2n -1) \times (2n - 1) \,
\left[\begin{matrix}
 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\
 & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\
 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & 1a_1 \\
\end{matrix}\right].

Diskriminanta  D(p) \, mnogočlenika  p(x) \, je dana z

D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p').\,

Zgled[uredi | uredi kodo]

Poglejmo primer z  n = 4 \, za katerega je zgornja determinanta enaka

\begin{vmatrix}
 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
 & 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1&  0 \\
 & 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}.

Diskriminanto mnogočlenika četrte stopnje se dobi z deljenjem te determinante z  a_4 \,. Če izrazimo diskriminanto s koreni je ta enaka

a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}

kjer so

  •  r_1 \cdots, r_n kompleksne ničle (večkratnost je všteta) mnogočlenika  p(x) \,
\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n).\end{matrix}

Diskriminanto lahko definiramo za mnogočlenike nad poljubnim obsegom na podoben način.

Lastnosti ničel[uredi | uredi kodo]

Diskriminanta nudi dodatne podatke o vrsti in lastnostih ničel. Daje podatek o tem ali so ničle realne ali kompleksne ter racionalne ali so iracionalne. Dobimo tudi podatek o tem, če so ničle v obsegu nad katerim je mnogočlenik definiran ali so tudi nad razširjenim obsegom. To najlažje vidimo na kvadratnih in kubičnih mnogočlenikih.

Kvadratni mnogočleniki[uredi | uredi kodo]

Kvadratni mnogočleniki z realnimi koeficienti veljajo naslednja pravila za vrste ničel:

  •  \Delta > 0 mnogočlenik ima dve različni ničli nad realnimi števili
  •  \Delta < 0 mnogočlenik ima dve (konjugirano kompleksni) ničli
  •  \Delta = 0 mnogočlenik ima dvojno realno ničlo

Kubični mnogočlenik[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Kubični mnogočlenik.

Pri kubičnem mnogočleniku pa veljajo naslednja pravila o vrsti ničel:

  •  \Delta > 0 mnogočlenik ima tri različne realne ničle
  •  \Delta < 0 mnogočlenik ima 1 realno in 2 konjugirano kompleksni ničli
  •  \Delta = 0 mnogočlenik ima 3 realne ničle, od njih sta najmanj dve enaki.

Lahko se zgodi, da ima mnogočlenik dvojno realno in še eno različno realno ničlo, v nasprotnem primeru so vse tri ničle enake.

Diskriminanta stožnic[uredi | uredi kodo]

Stožnice so definirane v ravninski geometriji z enačbo

Ax^2+ Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 ,\,

Diskriminanta pa je enaka

 \Delta = B^2 - 4AC \,
  • kadar je diskriminanta manjša od 0, enačba pomeni elipso ali krožnico
  • če je diskriminanta enaka 0, enačba pomeni parabolo
  • če je diskriminanta večja od 0, enačba pomeni hiperbolo

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Wang, Dongming (2004). Elimination practice: software tools and applications. Imperial College Press. str. 180. ISBN 1-860-94438-8. , Chapter 10 page 180
  2. ^ Gelfand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. str. 1. ISBN 3-7643-3660-9. , Preview page 1
  3. ^ Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. str. 26. ISBN 3-540-24326-7. , Chapter 1 page 26

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]