Elipsa

Za druge pomene glej Elipsa (razločitev).

Elipsa

Elípsa ali pákróg je v matematiki sklenjena ravninska krivulja ovalne oblike, pri kateri je vsota razdalj katerekoli točke od gorišč F₁ in F₂ stalna. Elipsa je ena od stožnic.

Slika

Na sliki so:

• a velika polos,
• b mala polos,
• AB velika os ($\overline{AB}=2a$),
• CD mala os ($\overline{CD}=2b$),
• točke A, B, C in D so temena elipse in
• F₁ ter F₂ pa gorišči elipse.

Gorišči sta od središča O oddaljeni za $c=e \cdot a=\sqrt{a^2-b^2}$. Če z r₁ in r₂ označimo razdalji od gorišč F₁ in F₂ do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžini $r_1=a-ex$ in $r_2=a+ex$, tako da velja $r_1+r_2=2a$

Parametrizacija

Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

parametrična oblika enačbe elipse pa

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

$0 \leq t < 2\pi$

Izsrednost (ekscentričnost)

$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

Polarne koordinate

$r (1 + e \cos \theta) = l \,$, kjer je $l = \frac{b^2}{a}$.

Ploščina

$S = \pi ab \,\! .$

Obseg

$O = 4aE(e)= 2 \pi a \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 e^2 - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{e^4}{3} - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^2 \frac{e^6}{5} - \cdots \right] \,\! ,$

kjer je E(e) popolni eliptični integral druge vrste.

Ramanujanov približek iz leta 1914:

$O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right] \,\! .$

Še en približek:

$O \approx \pi \sqrt{2} (a^2+b^2) \,\! .$

Kvadratna forma

Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo s kvadratno formo:

$ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \,\! .$

Če forma nima člena z $xy$, torej $b=0$, elipsa ni zavrtena:

$ax^2 + cy^2 + dx + ey + f = 0 \,\! .$

Če forma nima člena z $x$, torej $d=0$, elipsa ni premaknjena v smeri osi x:

$ax^2 + cy^2 + ey + f = 0 \,\! .$

Če forma nima člena z $y$, torej $e=0$, elipsa ni premaknjena v smeri osi y:

$ax^2 + cy^2 + f = 0 \,\! .$

Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.

Identifikacija

Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:

$A=\begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}$

in

$B=\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$

Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja: $|A| \ne 0,\quad |B|>0,\quad \frac{|A|}{a+c}<0$

pri čemer je $|A|=acf+2bde-fb^2-cd^2-ae^2$ in $|B|=ac-b^2$

Središče elipse

Središče elipse je rešitev sistema enačb:

$2ax+2by+d=0 \,\! ,$

$2bx + 2cy + e = 0 \,\! ,$

z rešitvijo

$x=\frac{-dc}{2b^2+2ac-be} \,\!$

$y=-\frac{e+2bx}{2c} \,\! .$

Kot vrtenja

Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je

$\varphi=\frac{1}{2}\mathrm{ctg}^{-1}\left(\frac{c-a}{2b}\right)$. Če je $b=0$ je $\varphi=0^\circ$

Glej tudi

• elipsoid (trorazsežni analogon elipse)
• sferoid (elipsoid, nastal kot vrtenina)
• sploščen sferoid
• superelipsa (posplošitev elipse, katere oblika je bolj podobna kvadratu)
• hiperbola
• parabola