Elipsa

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Elipsa

Elípsa ali pákróg je v matematiki sklenjena ravninska krivulja ovalne oblike, pri kateri je vsota razdalj katerekoli točke od gorišč F1 in F2 stalna. Elipsa je ena od stožnic.

Slika[uredi | uredi kodo]

Na sliki so:

  • a velika polos,
  • b mala polos,
  • AB velika os (\overline{AB}=2a),
  • CD mala os (\overline{CD}=2b),
  • točke A, B, C in D so temena elipse in
  • F1 ter F2 pa gorišči elipse.

Gorišči sta od središča O oddaljeni za c=e \cdot a=\sqrt{a^2-b^2}. Če z r1 in r2 označimo razdalji od gorišč F1 in F2 do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžini r_1=a-ex in r_2=a+ex, tako da velja r_1+r_2=2a

Parametrizacija[uredi | uredi kodo]

Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

parametrična oblika enačbe elipse pa je

x = a\,\cos t
y = b\,\sin t
0 \leq t < 2\pi

Izsrednost (ekscentričnost)[uredi | uredi kodo]

e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

Polarne koordinate[uredi | uredi kodo]

r (1 + e \cos \theta) = l \,, kjer je l = \frac{b^2}{a}.

Ploščina[uredi | uredi kodo]

 S = \pi ab\,\! .

Obseg[uredi | uredi kodo]

o = 4aE(e)=
2 \pi a
\left[1 - 
\left(\frac{1}{2}\right)^2 e^2 - 
\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{e^4}{3} -
\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^2 \frac{e^6}{5} -
\cdots \right] \,\! ,

kjer je E(e) popolni eliptični integral druge vrste.

Ramanujanov približek iz leta 1914:

 o \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right] \,\! .

Še en približek:

 o \approx \pi \sqrt{2} (a^2+b^2) \,\! .

Kvadratna forma[uredi | uredi kodo]

Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo s kvadratno formo:

ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \,\! .

Če forma nima člena z xy, torej b=0, elipsa ni zavrtena:

ax^2 + cy^2 + dx + ey + f = 0 \,\! .

Če forma nima člena z x, torej d=0, elipsa ni premaknjena v smeri osi x:

ax^2 + cy^2 + ey + f = 0 \,\! .

Če forma nima člena z y, torej e=0, elipsa ni premaknjena v smeri osi y:

ax^2 + cy^2 + f = 0 \,\! .

Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.

Identifikacija[uredi | uredi kodo]

Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:

A=\begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}

in

B=\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}

Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja: |A| \ne 0,\quad |B|>0,\quad \frac{|A|}{a+c}<0

pri čemer je |A|=acf+2bde-fb^2-cd^2-ae^2 in |B|=ac-b^2

Središče elipse[uredi | uredi kodo]

Središče elipse je rešitev sistema enačb:

 2ax+2by+d=0 \,\! ,
 2bx + 2cy + e = 0 \,\! ,

z rešitvijo

 x=\frac{-dc}{2b^2+2ac-be} \,\!
 y=-\frac{e+2bx}{2c} \,\! .

Kot vrtenja[uredi | uredi kodo]

Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je

\varphi=\frac{1}{2}\mathrm{ctg}^{-1}\left(\frac{c-a}{2b}\right). Če je b=0 je \varphi=0^\circ

Glej tudi[uredi | uredi kodo]