Nefroida

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nefroida je krivulja v rdeči barvi.
Polovica nefroide v kozarcu kave.

Nefroida je ravninska krivulja, ki ima obliko ledvic Ime krivulje pomeni oblikovana kot ledvice (primerjaj tudi z nefrologija).

Nefroida je epicikloida s k = 2.

Parametrična oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

parametrična enačba nefroide je

x=a(3\cos t-\cos3t),\quad y=a(3\sin t-\sin3t).

Vrhovi krivulje ležijo na osi-x. Kadar pa ležijo vrhovi krivulja na osi-y je parametrična oblika enačbe nefroide

x=a(3\cos t+\cos3t),\quad y=a(3\sin t+\sin3t).

Kartezična oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba nefroide (x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2.

Lastnosti nefroide[uredi | uredi kodo]

Dolžina loka nefroide je enaka

l=24a .

Ploščina pa se izračuna po obrazcu

 P=12\pi a^2.

Polmer ukrivljenosti se dobi po obrazcu

\rho=|3a\sin t|.

Nefroida kot kavstika krožnice[uredi | uredi kodo]

Nefroido lahko imamo za kavstiko krožnice za vzporedne žarke. To lahko tudi povemo, da odbiti vzporedni žarki tvorijo ovojnico nefroide.

Nefroida kot ovojnica krožnic[uredi | uredi kodo]

Nefroida kot ovojnica krožnic.

Nefroida se lahko kreira kot ovojnica krožnic. To naredimo na naslednji način: pričnemo z osnovno krožnico (modra). Nato izberemo točko na tej krožnici (rdeča točka). S to točko kot središčem, narišemo krožnico (rdeče) tako, da je tangenta na os-y. Če narišemo večje število krožnic, dobimo nefroido.

Nefroida kot ovojnica premic[uredi | uredi kodo]

Nefroido lahko kreiramo tudi kot ovojnico premic. Postopek je naslednji: Pričnemo s krožnico, ki ima polmer  a \,. Za različne vrednosti  t \, povežemo točke, ki so na  t \, in  3t \, stopinjah okoli po krožnici (to pomeni, da povežemo točke ( a\cos t,  a\sin t) s točkami ( a\cos 3t, a\sin 3t) . Premice, ki jih dobimo, tvorijo ovojnico nefroide.

Nefroida kot epicikloida z dvema konicama[uredi | uredi kodo]

Nefroida je tudi epicikloida z dvema vrhovoma (konicama).

Evoluta nefroide[uredi | uredi kodo]

Evoluta nefroide. Dve pritisnjeni krožnici imata modro barvo. Središča teh krožnic se vidijo kot, ležijo na evoluti (rdeče) (manjša nefroida).

Evoluta nefroide je druga za polovico manjša nefroida, ki pa je zavrtena za 90°. Originalna nefroida se vidi kot, da je ovojnica pritisnjenih krožnic

Involuta nefroide[uredi | uredi kodo]

Ker je evoluta nefroide druga nefroida, je tudi involuta nefroide druga nefroida.

Inverzna krivulja nefroide[uredi | uredi kodo]

Nefroidi inverzna krivulja.

Inverzna krivulja glede na originalno nefroido (rdeče) je krivulja, ki je ovojnica krožnic (črno).

V kartezičnih koordinatah je glede na krožnico c polmerom  a \, je v kartezičnih koordinatah enačba inverzne krivulje

(a^2-4(x^2+y^2))^3=108a^2x^2(x^2+y^2).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]