Superelipsa

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Superelipsa z n = 1/2, a = b = 1
Superelipsa z n = 3/2, a = b = 1
Krožno zaobljeni kvadrat je superelipsa z n = 4, a = b = 1

Superelipsa (tudi Laméjeva krivulja) je ravninska družina krivulj, ki imajo v kartezičnem koordinatnem sistemu enačbo:

\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1 \!\, ,

kjer so:

Zgornji obrazec določa zaprto krivuljo v pravokotniku v mejah  -a \le x \le +a in  -b \le x \le +b . Parametra  a \, in  b \, se imenujeta polosi krivulje.

V parametrična oblika je:[1]

 x = \cos^{2/m} t \!\,
 y = \sin^{2/m} t \!\, ,

kjer je  r>2 .

Oblika krivulje je odvisna od parametra  n \,:

  • če je  n \, med 0 in 1, superelipsa izgleda kot štirikraka zvezda, ki ima vbočene stranice.
  • če je  n = 1/2 \, so stranice parabole
  • če je  n=1 ima superelipsa obliko romba z oglišči v točkah (±a, 0) in (0, ±b)
  • če je  n \, med 1 in 2 izgleda kot romb, ki ima izbočene stranice
  • če je  n =2  \, je krivulja običajna elipsa oziroma krožnica, če je  a = b \,
  • če je  n >2  \, izgleda kot pravokotnik z zaobljenimi vogali
  • če je  n <2  \, krivuljo imenujemo hipoelipsa
  • če je  n >2  \, krivuljo imenujemo hiperelipsa
  • točke ekstrema so v točkah  (\pm a, \text { }0 in  (0, \text { } \pm b ).
Animacija (klikni na sliko)

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Zgled posplošene superelipse z m ≠ n.

Superelipso lahko opišemo s splošno obliko:

 \left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; \qquad m, n > 0 \!\, .

ali z:


\begin{align}
 x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{m}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\
 y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot b \sgn(\sin \theta).
\end{align} \!\, .

Povezave z drugimi krivuljami[uredi | uredi kodo]

Ploščina omejena s superelipso[uredi | uredi kodo]

Ploščina, ki jo omejuje superelipsa, je:

 \mathrm{P} = 4 a b \frac{\left(\Gamma \left(1+\tfrac{1}{n}\right)\right)^2}{\Gamma \left(1+\tfrac{2}{n}\right)} \!\, ,

kjer je:

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Superelipso je prvi opisal francoski matematik Gabriel Lamé (1795 – 1870).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]