Superelipsa

Superelipsa z n = 1/2, a = b = 1

Superelipsa z n = 3/2, a = b = 1

Krožno zaobljeni kvadrat je superelipsa z n = 4, a = b = 1

Superelipsa (tudi Laméjeva krivulja) je ravninska družina krivulj, ki imajo v kartezičnem koordinatnem sistemu enačbo:

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1 \!\, ,$

kjer so:

• $n, \text { }a, \text { }b$ pozitivna števila

Zgornji obrazec določa zaprto krivuljo v pravokotniku v mejah $-a \le x \le +a$ in $-b \le x \le +b$. Parametra $a \,$ in $b \,$ se imenujeta polosi krivulje.

V parametrična oblika je:

$x = \cos^{2/m} t \!\,$

$y = \sin^{2/m} t \!\, ,$

kjer je $r>2$.

Oblika krivulje je odvisna od parametra $n \,$:

• če je $n \,$ med 0 in 1, superelipsa izgleda kot štirikraka zvezda, ki ima vbočene stranice.
• če je $n = 1/2 \,$ so stranice parabole
• če je $n=1$ ima superelipsa obliko romba z oglišči v točkah (±a, 0) in (0, ±b)
• če je $n \,$ med 1 in 2 izgleda kot romb, ki ima izbočene stranice
• če je $n =2 \,$ je krivulja običajna elipsa oziroma krožnica, če je $a = b \,$
• če je $n >2 \,$ izgleda kot pravokotnik z zaobljenimi vogali
• če je $n <2 \,$ krivuljo imenujemo hipoelipsa
• če je $n >2 \,$ krivuljo imenujemo hiperelipsa
• točke ekstrema so v točkah $(\pm a, \text { }0$ in $(0, \text { } \pm b$).

Animacija (klikni na sliko)

Posplošitve

Zgled posplošene superelipse z m ≠ n.

Superelipso lahko opišemo s splošno obliko:

$\left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; \qquad m, n > 0 \!\, .$

ali z:

$\begin{align} x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{m}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\ y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot b \sgn(\sin \theta). \end{align} \!\, .$

Povezave z drugimi krivuljami

• astroida je superelipsa z $n = 2/3$ in $a= b$
• astroida je hipocikloida s štirimi vrhovi
  • deltoida je hipocikloida s tremi vrhovi
• krožno zaobljeni kvadrat (štiristrano kolo) je superelipsa z $n = 4$
  • Reulauxov trikotnik (tristrano kolo)
• superoblika je posplošitev superelipse
• superkvadrik je trirazsežna oblika superelipse.

Ploščina omejena s superelipso

Ploščina, ki jo omejuje superelipsa, je:

$\mathrm{P} = 4 a b \frac{\left(\Gamma \left(1+\tfrac{1}{n}\right)\right)^2}{\Gamma \left(1+\tfrac{2}{n}\right)} \!\, ,$

kjer je:

• $\Gamma (x)$ funkcija gama.

Zgodovina

Superelipso je prvi opisal francoski matematik Gabriel Lamé (1795 – 1870).

Glej tudi

• Laméjeva ploskev

Zunanje povezave

• Kalkulator za risanje superelips (v angleščini)
• Superelipsa na 2dcurves.com (v angleščini)
• Kalkulator za superelipse (v angleščini)
• Superelipsa na MacTutor (v angleščini)
• Superelipsa v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (v francoščini)