Superelipsa

Superelipsa z n = 1/2, a = b = 1

Superelipsa z n = 3/2, a = b = 1

Krožno zaobljeni kvadrat je superelipsa z n = 4, a = b = 1

Superelipsa (tudi Laméjeva krivulja) je ravninska družina krivulj, ki imajo v kartezičnem koordinatnem sistemu enačbo:

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1\!\,,$

kjer so:

• $n,{\text{ }}a,{\text{ }}b$ pozitivna števila

Zgornji obrazec določa zaprto krivuljo v pravokotniku v mejah $-a\leq x\leq +a$ in $-b\leq x\leq +b$. Parametra $a\,$ in $b\,$ se imenujeta polosi krivulje.

V parametrična oblika je:

$x=\cos ^{2/m}t\!\,$

$y=\sin ^{2/m}t\!\,,$

kjer je $r>2$.

Oblika krivulje je odvisna od parametra $n\,$:

• če je $n\,$ med 0 in 1, superelipsa izgleda kot štirikraka zvezda, ki ima vbočene stranice.
• če je $n=1/2\,$ so stranice parabole
• če je $n=1$ ima superelipsa obliko romba z oglišči v točkah (±a, 0) in (0, ±b)
• če je $n\,$ med 1 in 2 izgleda kot romb, ki ima izbočene stranice
• če je $n=2\,$ je krivulja običajna elipsa oziroma krožnica, če je $a=b\,$
• če je $n>2\,$ izgleda kot pravokotnik z zaobljenimi vogali
• če je $n<2\,$ krivuljo imenujemo hipoelipsa
• če je $n>2\,$ krivuljo imenujemo hiperelipsa
• točke ekstrema so v točkah $(\pm a,{\text{ }}0$ in $(0,{\text{ }}\pm b$).

Animacija (klikni na sliko)

Posplošitve

Zgled posplošene superelipse z m ≠ n.

Superelipso lahko opišemo s splošno obliko:

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0\!\,.$

ali z:

${\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}\!\,.$

Povezave z drugimi krivuljami

• astroida je superelipsa z $n=2/3$ in $a=b$
• astroida je hipocikloida s štirimi vrhovi
  • deltoida je hipocikloida s tremi vrhovi
• krožno zaobljeni kvadrat (štiristrano kolo) je superelipsa z $n=4$
  • Reulauxov trikotnik (tristrano kolo)
• superoblika je posplošitev superelipse
• superkvadrik je trirazsežna oblika superelipse.

Ploščina omejena s superelipso

Ploščina, ki jo omejuje superelipsa, je:

$\mathrm {P} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}\!\,,$

kjer je:

• $\Gamma (x)$ funkcija gama.

Zgodovina

Superelipso je prvi opisal francoski matematik Gabriel Lamé (1795 – 1870).

Glej tudi

• Laméjeva ploskev

Zunanje povezave

• Kalkulator za risanje superelips (angleško)
• Superelipsa na 2dcurves.com (angleško)
• Kalkulator za superelipse (angleško)
• Superelipsa na MacTutor (angleško)
• Superelipsa v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)