Cotesova spirala

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cotesova spirala je ravninska krivulja, ki jo lahko zapišemo v polarnih koordinatah z eno izmed naslednjih treh oblik


\frac{1}{r} = A \cos\left( k\theta + \varepsilon \right)

\frac{1}{r} = A \cosh\left( k\theta + \varepsilon \right)

\frac{1}{r} = A \theta + \varepsilon

kjer je

  •  A \, realno število (konstanta)
  •  k \, realno število (konstanta)
  •  \varepsilon \, realno število (konstanta)

Prva oblika predstavlja epispiralo, druga Poinsotovo spiralo, tretja pa predstavlja hiperbolično spiralo.

Spirala se imenuje po angleškem matematiku Rogerju Cotesu (1682 – 1716).

Cotesova spirala je izredno pomembna v klasični mehaniki, ker se po Cotesovih spiralah gibljejo telesa v polju sil, ki padajo obratno sorazmerno s tretjo potenco oddaljenosti. To so sile, ki jih lahko zapišemo kot

 F(r) = \frac{\mu}{r^3}

kjer je

Središčna sila je odvisna samo od razdalje  r \, med gibajočim se telesom in fiksno točko (središčem). V tem primeru se lahko konstanta  k \, spirale določi s pomočjo ploščinske hitrosti, ki jo označimo s  h \,, tako, da velja

 k^{2} = 1 - \frac{\mu}{h^2} .

Nastopijo lahko trije primeri:

  •  \mu < h \, dobimo kosinusno obliko spirale in velja
 k^{2} = \frac{\mu}{h^2} - 1
  •  \mu > h \, dobimo hiperbolično kosinusno obliko spirale
  •  \mu = h \, dobimo tretjo obliko spirale (glej zgoraj).

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]