Algebrska krivulja

Algebrska krivulja je v algebrski geometriji algebrska varieteta z razsežnostjo 1. Teorija teh krivulj je bila razvita v 19. stoletju.

Enostavno lahko rečemo, da je krivulja algebrska, kadar jo v kartezičnih koordinatah lahko opišemo kot polinom z realnimi koeficienti. Kadar pa krivulja ni algebrska, ji pravimo transcendentna.

Algebrske krivulje delimo na več skupin. Za vsako skupino je značilna stopnja polinoma, ki opisuje krivuljo. Na ta način ločimo

krivulje prve stopnje (premica)
krivulje druge stopnje (stožnice)
krivulje tretje stopnje (kubične krivulje)
krivulje četrte stopnje (kvartične)
krivulje šeste stopnje (sekstične)
krivulje osme stopnje (oktične)
krivulje ostalih (višjih) stopenj

Stopnja krivulje je enaka stopnji polinoma. Algebrske krivulje pripadajo enačbam, ki vsebujejo samo algebrske funkcije.

Algebrske krivulje so lahko tudi prostorske krivulje ali celo krivulje v večrazsežnih prostorih. Lahko jih dobimo kot presečišče več kot enega polinoma, ki ima več kot dve spremenljivki. Z eliminacijo spremenljivk s pomočjo rezultante dveh polinomov jih lahko prevedemo na ravninsko algebrsko krivuljo.

Vsebina

1 Ravninske algebrske krivulje
2 Projektivne krivulje
3 Primeri algebrskih krivulj
- 3.1 Racionalne krivulje
4 Stožnice
5 Eliptične krivulje
6 Glej tudi
7 Zunanje povezave

Ravninske algebrske krivulje [uredi]

Algebrska ravninska krivulja, definirana nad obsegom F je geometrijsko mesto točk v $\mathbb {F}^2 \,$ določenih z najmanj n -1 neodvisnih polinomov z n spremenljivkami in s koeficienti $g_i(x_1, \dots, x_n) \,$ v F, kjer krivuljo definiramo tako, da postavimo posamezne koeficiente enake nič $g_i = 0 \,$ .

Projektivne krivulje [uredi]

Pogosto želimo, da je geometrijsko mesto točk v projektivnem prostoru. V množici enačb $g_i = 0 \,$ lahko nadomestimo vsak $x_i \,$ z $x_k / x_0 \,$ in množimo z $x_0^n \,$ , kjer je $n \,$ stopnja $g_i \,$ . Na ta način dobimo homogene polinomske funkcije, ki definirajo odgovarjajoče krivulje v projektivnem prostoru $\mathbb {P}^n \,$ . Za ravninske algebrske krivulje imamo samo eno enačbo, to je $f(x, y, z) = 0 \,$ . Primer: Fermatova krivulja $x^n + y^n -z^n = 0 \,$ je projektivna krivulja.