Algebrska krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Algebrska krivulja je v algebrski geometriji algebrska varieteta z razsežnostjo 1. Teorija teh krivulj je bila razvita v 19. stoletju.

Enostavno lahko rečemo, da je krivulja algebrska, kadar jo v kartezičnih koordinatah lahko opišemo kot polinom z realnimi koeficienti. Kadar pa krivulja ni algebrska, ji rečemo transcendentna.

Algebrske krivulje delimo na več skupin. Za vsako skupino je značilna stopnja polinoma, ki opisuje krivuljo. Na ta način ločimo

  • krivulje prve stopnje (premica)
  • krivulje druge stopnje (stožnice)
  • krivulje tretje stopnje (kubične krivulje)
  • krivulje četrte stopnje (kvartične)
  • krivulje šeste stopnje (sekstične)
  • krivulje osme stopnje (oktične)
  • krivulje ostalih (višjih) stopenj

Stopnja krivulje je enaka stopnji polinoma. Algebrske krivulje pripadajo enačbam, ki vsebujejo samo algebrske funkcije.

Algebrske krivulje so lahko tudi prostorske krivulje ali celo krivulje v večrazsežnih prostorih. Lahko jih dobimo kot presečišče več kot enega polinoma, ki ima več kot dve spremenljivki. Z eliminacijo spremenljivk s pomočjo rezultante dveh polinomov jih lahko prevedemo na ravninsko algebrsko krivuljo.

Ravninske algebrske krivulje[uredi | uredi kodo]

Algebrska ravninska krivulja, definirana nad obsegom F je geometrijsko mesto točk v  \mathbb {F}^2 \, določenih z najmanj n -1 neodvisnih polinomov z n spremenljivkami in s koeficienti  g_i(x_1, \dots, x_n) \, v F, kjer krivuljo definiramo tako, da postavimo posamezne koeficiente enake nič  g_i = 0 \,.

Projektivne krivulje[uredi | uredi kodo]

Pogosto želimo, da je geometrijsko mesto točk v projektivnem prostoru. V množici enačb  g_i = 0 \, lahko nadomestimo vsak  x_i \, z  x_k / x_0 \, in množimo z  x_0^n \,, kjer je  n \, stopnja  g_i \,. Na ta način dobimo homogene polinomske funkcije, ki definirajo odgovarjajoče krivulje v projektivnem prostoru  \mathbb {P}^n \,. Za ravninske algebrske krivulje imamo samo eno enačbo, to je  f(x, y, z) = 0 \,. Primer: Fermatova krivulja  x^n + y^n -z^n = 0 \, je projektivna krivulja.

Primeri algebrskih krivulj[uredi | uredi kodo]

Racionalne krivulje[uredi | uredi kodo]

Racionalna krivulja je vsaka krivulja, ki je biracionalno ekvivalentna premici.

Stožnice[uredi | uredi kodo]

Pomembna vrsta algebrskih krivulj so stožnice, ki so nesingularne krivulje stopnje 2 z rodom enakim nič.

Eliptične krivulje[uredi | uredi kodo]

Druga pomembna vrsta algebrskih krivulj so eliptične krivulje, ki pa so nesingularne z rodom 1.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]