Descartesov list

Descartesov list s parametrom a=1

Descartesov list je v geometriji algebrska krivulja, ki jo določa enačba tretje stopnje (v kartezičnih koordinatah)

$x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,$.

V polarnih koordinatah je enačba Descartesovega lista enaka

$r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }.$

Parametrična oblika pa je

$x = {{3ap} \over {1 + p^3}},\, y = {{3ap^2} \over {1 + p^3}}$.

Iz tega se vidi, da parameter $p \,$ določa posamezne dele (veje) krivulje:

• p < -1 pripada spodnjemu, desnemu delu krivulje
• -1 < p < 0 pripada zgornjemu, levemu delu krivulja
• p > 0 pripada zanki krivulje

Zgodovina

Prvi je krivuljo proučeval francoski filozof, matematik, fizik, učenjak in častnik René Descartes (1596 – 1650) v letu 1638. Descartes je izzval francoskega pravnika, matematika in fizika Pierra de Fermata (1601 – 1665), da bi našel tangento na krivuljo v poljubni točki, kar je ta tudi z lahkoto naredil.

Lastnosti

Descartesov list ima naslednje lastnosti:

• je osno simetričen glede na simetralo 1. in 3. kvadranta. Natančno dve točki ležita na simetrali. To je izhodišče in teme zanke.
• izhodišče koordinatnega sistema je dvojna točka krivulje.
• premica z enačbo $x + y + a = 0 \,$ je asimptota krivulje
• krivinski polmer v izhodišču je $\frac {3} {2} a \,$
• zanka ima površino $\frac {3} {2} a^2 \,$. Enaka ploščina je tudi med asimptoto in krivuljo

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Descartesov list na MathWorld (v angleščini)
• Descartesov list (v angleščini)